R8年(2026年)度徳島県公立高校一般選抜(数学)空間図形

こんにちは。早速いってみましょう。

問題

下の図1のように，1辺の長さが6cmの立方体ABCDEFGHがあり，辺AE上に $\text{AI=4\, cm}$ となるように点Iをとり，線分BDの中点をJとする。(1)～(3)に答えなさい。
(1) 立方体ABCDEFGHの辺のうち，辺BCとねじれの位置にある辺はどれか，すべて書きなさい。
(2) 線分AFと線分BIの交点をPとするとき， $\sankaku{AIP}$ ∽ $\sankaku{FBP}$ を証明しなさい。
(3) 図2は，図1の立方体から4点C，B，G，Dを結んでできる三角錐CBGDを切り取った残りの立体である。(a)・(b)に答えなさい。
(a) 図2の立体の体積は，図1の立方体の体積の何倍か，求めなさい。
(b) 点Iから線分JGに垂線をひき，線分JGとの交点をQとするとき，線分IQの長さを求めなさい。
図1

図2

解答・解説

【解答】
(1) 辺DH，辺HG，辺AE，辺EF　
(2)
$\sankaku{AIP}$ と $\sankaku{FBP}$ で，
$\text{AE//BF}$ より，錯角は等しいので，
$\kaku{PAI}=\kaku{PFB}\cdots\maru1$
$\kaku{PIA}=\kaku{PBF}\cdots\maru2$
$\maru1$ ， $\maru2$ より，2組の角がそれぞれ等しいので，
$\sankaku{AIP}$ ∽ $\sankaku{FBP}$
※対頂角を示してもOK
(3)(a)
$\dfrac56$ 倍
(3)(b)
$\dfrac{10\sqrt3}{3}\,\text{cm}$
【解説】
(3)(a)
立方体の体積を求めると， $6^3=216$
三角錐CBGDを求めると， $6\times6\times\dfrac12\times6\times\dfrac13=36$
したがって，図2の立体の体積は， $216-36=180$
よって， $180\div216=\dfrac56$ (倍)
【別解】
切り取った立体の体積は，立方体の体積を $V$ とすると，
$V\times\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16 V$
よって，残りの体積は $V-\dfrac16 V=\dfrac56 V$ としても求まる。
(3)(b)
直線AEと直線JGの交点をKとする。(下図参照)
このとき，AJ：EGが1：2であることから， $\text{KA}=\text{AE}=6$ cmとなる。
またこのとき， $\sankaku{KIQ}$ と $\sankaku{KGE}$ は相似である。 $\cdots\maru1$
$\text{KE}=12$ cm， $\text{EG}=6\sqrt2$ であるから，三平方の定理より， $\text{KG}=6\sqrt6$ cm。
$\text{KI}=10$ cm， $\text{IQ}=x$ cmとすると， $\maru1$ の相似の関係より，
$10 : x= 6\sqrt6 : 6\sqrt2$ が成り立つから，
$10 : x=\sqrt3 : 1$
$x=\dfrac{10\sqrt3}{3}$ (cm)