TikZ：R8年(2026年)度徳島県公立高校一般選抜(数学)大問3関数

こんにちは。早速いってみましょう。

問題

下の図のように，関数 $y=-\dfrac{6}{x}$ のグラフ上に2点A，B，関数 $y=ax\, (a>0)$ のグラフ上に点Cがあり，点Aの $x$ 座標は $-6$ ，点B，Cの $x$ 座標は3である。また，点Dの座標は $(3, 1)$ である。(1)～(4)に答えなさい。
(1) $a=2$ のとき，点Cの座標を求めなさい。
(2) $\sankaku{ADC}$ が二等辺三角形になるとき， $a$ の値を求めなさい。
(3) 点Bを通り， $x$ 軸と平行な直線を $\ell$ とする。 $a=4$ のとき，直線 $\ell$ を対称の軸として，直線 $y=ax$ と線対称となる直線の式を求めなさい。
(4) 線分ABと $x$ 軸との交点をEとする。四角形AEDCの面積が $\sankaku{ABC}$ の面積の $\dfrac12$ 倍になるとき， $a$ の値を求めなさい。

解答・解説

【解答】
(1) $(3, 6)$
(2) $a=\dfrac{10}{3}$
(3) $y=-4x-4$
(4) $a=\dfrac23$
【解説】
(1) $y=2x$ に $x=3$ を代入して， $y=6$
(2) $\sankaku{ADC}$ が二等辺三角形ということは， $\sankaku{ADC}$ が $\text{AD}=\text{CD}$ の直角二等辺三角形。 $\text{AD}=9$ より，Cの座標は $(3, 1+9)=(3, 10)$ 。これを $y=ax$ に代入して，
$3a=10$ ， $a=\dfrac{10}{3}$
(3) Bの座標は $(3, -2)$ 。したがって，直線 $\ell$ は $y=-2$ (青色の直線)である。これと $y=4x$ との交点を求めると， $\left(-\dfrac12,-2\right)$ 。求める直線は $y=4x$ と傾きの符号が反対で，点 $\left(-\dfrac12,-2\right)$ を通る。これを求めると， $y=-4x-4$ (赤の直線)

(4)

四角形AEDCの面積が $\sankaku{ABC}$ の $\dfrac12$ ということは，言い換えると $\sankaku{BDE}$ が $\sankaku{ABC}$ の $\dfrac12$ になればよいということ。
まず，点Eの座標を求めたいので，直線ABの式を求めると， $\text{A(-6, 1)}$ ， $\text{B(3, -2)}$ より，直線ABの式は， $y=-\dfrac13 x-1$ であるから， $\text{E(-3, 0)}$ 。
次に，Cの座標を $\text{C(3, 3a)}$ とおいて $\sankaku{ABC}$ の面積を求めると，線分BCの長さは $3a+2$ ，高さは $\text{AD}=9$ なので，
$(3a+2)\times9\times\dfrac12\cdots\maru1$
続けて， $\sankaku{BDE}$ の面積は， $\text{BD}=3$ ，高さは点Eから線分BCへの垂線の長さなので6。
したがって， $\sankaku{BDE}$ の面積は，
$3\times6\times\dfrac12\cdots\maru2$
$\maru1=\maru2\times2$ として方程式をつくると，
$\dfrac{9(3a+2)}{2}=18$
両辺2倍して，
$9(3a+2)=36$
両辺9で割って，
$3a+2=4$
$a=\dfrac23$

問題

解答・解説

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