高校数学:攻略法:不等式を満たす最大の整数

こんにちは。高校数学の不等式でよく質問がくるやつをピックアップしておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

不等式を満たす最大の整数

【例題】不等式5(x-1)<4x+3aを満たすxのうちで, 最大の整数が6であるとき, 定数aの値の範囲を求めよ。
【解法】まず普通に不等式を解く要領で解を求めます。
すると,
5x-5<4x+3a
x<3a+5
この不等式を満たす最大の整数が6ということは,
3a+56より大きくなくてはならず, かつ7以下でなくてはならないという条件になることが見えますでしょうか?(見えなければ, 最後の【補足】参照ください)
つまり,
x<6.\cdotsからx<7の範囲で3a+5が収まっていれば, 不等式を満たす最大の整数は6になります。(下図イメージ図)

x<7なら, この不等式を満たす最大の整数は6になります。7を超えると不等式を満たす最大の整数は6ではなく, 7以上の数になってしまいます。ちょうど7でもいいのは, x<3a+5の不等式自体に等号が付いていないからです。ですから, ちょうど7でも等号が付いていないので, 7は含みません。
したがって, 3a+5には次の不等式が成立します。
6<3a+5\leqq7
これを解いて, 求める解は,
\dfrac13<a\leqq\dfrac23
となります。
【補足】
x<3a+5
となっています。
この不等式が6を含むということは, 3a+5が6より大きくないといけませんよね。
6より大きくなるということは、この不等式の最大の整数は6以上になります。
そして3a+5はちょうど7までのとき、最大の整数が6になります。
ですから
6<3a+5\leqq7
となります。

問題をやってみよう

【問題】不等式5(x-1)<3x+4a+1を満たす最大の整数がx=9であるとき, 定数aの値の範囲を求めよ。


【解答例】
不等式を解くと,
x < 2a+3
これを満たす最大の整数が9になるためには,
2a+3が9よりも大きく, ちょうど10までを満たせばいいので,
9 < 2a+3 \leqq 10が条件になる。
これを解いて,
3< a\leqq \dfrac72 \cdots(答)


6 COMMENTS

進学校の落ちこぼれ

ずっと疑問だったところが腑に落ちました! ありがとうございます。
ところで一つ質問なのですが、なぜ最大のxは6なのに3a+5≦7の段階で等号が入るのでしょうか? ≦にすると最大の整数は7になってしまう気がするのですが……
よろしければ回答お願いします。

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mathtext

こんにちは。
確かに疑問ですよね。
解の不等式を見てください。
x<3a+5となっています。
解の不等号にイコールがないですよね。
ですから3a+5が7になったところで, 7は解に含まれないんですね。
ですから, 6<3a+5≦7でもいいんです。
そこに気づくのがここの問題の狙いでもあります。
ご健闘ください。
それでは。

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数学の成績を上げたい人

「ですから3a+5が7になったところで, 7は解に含まれないんですね。」とありますが、どのような計算をすれば含まれないことが説明できるのですか?

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mathtext

こんばんは。
ちょうど7でもいいのは, x<3a+5の不等式自体に等号が付いていないからです。
よろしくお願いします。

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ぴろりん

”最大の整数が6ということは,6より大きくなくてはならず, かつ7以下でなくてはならないという条件になることが見えますでしょうか?”

ここが見えなくて夜も眠れません。
Xは実数だと解釈しましたが、最大でない整数、5,4,3であってもaの範囲は出せますし成立します。
最大の整数が6という言葉の意味は小数点以下切り捨てで6になる実数という意味なんでしょうか?よろしくお願い致します。

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mathtext

こんばんは。
最大の整数が6という言葉の意味は小数点以下切り捨てで6になる実数という意味なんでしょうか?
>そうです。

x<3a+5
となっています。
この不等式が6を含むということは3a+5が6より大きくないといけませんよね。
6より大きくなるということは、この不等式の最大の整数は6以上になります。
そして3a+5はちょうど7までのとき、最大の整数が6になります。
ですから
6<3a+5≦7
となります。
よろしいでしょうか。

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