高校数学：2次不等式の係数を求める

こんにちは。今回は解法の1つとしてご紹介します。例題を見ながらいきましょう。

連立方程式による解法

【例】2次不等式 $ax^2+bx+6>0$ の解が $-1<x<3$ であるとき, 係数 $a, b$ の値を求めなさい。
【解法】まず皆さんに想像してもらいたいのが, 答えが $-1<x<3$ となる2次不等式なんですが, 必ず次のようになりませんか？
$p(x+1)(x-3)<0\ \ (p$ は正の定数) $\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
このとき, この解は $-1<x<3$ となるはずです。
ただし, この問題の2次不等式 $ax^2+bx+6>0\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$ は不等号の向きが反対になっています。このことは, $a$ の値が負であることを意味します。また, $\textcircled{\scriptsize 1}$ のようになるということは, $\textcircled{\scriptsize 2}$ の左辺の2次式を2次方程式としたとき, $x=-1, 3$ を解に持つということになります。
したがって, $ax^2+bx+6=0$ として, $x=-1, 3$ を代入し, $a, b$ についての連立方程式をつくると,
$\begin{cases}a - b = -6 \\9a + 3b = -6 \end{cases}$
これを解いて, $a=-2, b=4$
これは $a<0$ を満たす。

係数比較による解法

【別解】
$q(x+1)(x-3)>0\ \ (q$ は負の定数) $\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$ として, $ax^2+bx+6>0\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$ と係数比較してもできます。 $\textcircled{\scriptsize 3}$ の左辺を展開すると定数項の部分は $-3q$ になります。この値は $\textcircled{\scriptsize 4}$ の6と等しいので, $-3q=6$ , $q=-2$ これは $q<0$ を満たす。
よって, $-2(x+1)(x-3)>0$ となるので, 左辺を展開して, $-2x^2+4x+6>0$ 。これと $\textcircled{\scriptsize 4}$ の係数比較で, $a=-2, b=4$ が得られます。

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