emath：高校数学：2つの円の共通接線の求め方

こんにちは。今回は2つの円の共通接線の問題の解法を見ていきましょう。例題を解きながら見ていきましょう。

共通接線の解法のテクニック

【例】2つの円 $x^2+y^2=4$ , $(x-4)^2+(y+2)^2=1$ に共通する接線の方程式を求めよ。
【解法】円 $x^2+y^2=4$ 上の点を $(p, q)$ とすると, 接線の方程式は $px+qy=4$ と表される。
これと円 $(x-4)^3+(y+2)^2=1$ の中心 $( 4, -2 )$ からの距離が半径の1と等しくなるので,
$\dfrac{|4p-2q-4|}{\sqrt{p^2+q^2}}=1\cdots\maru1$
という式ができる。
ここで, $(p, q)$ は円 $x^2+y^2=4$ 上の点であるため,
$p^2+q^2=4\cdots\maru2$ が成り立つので,
$\maru1$ は次のように書ける。
$\dfrac{|4p-2q-4|}{\sqrt4}=|2p-q-2|=1$
これより
$2p-q-2=\pm1$ となり,
$2p-q=3\cdots\maru3$ , $2p-q=1\cdots\maru4$
$\maru3$ より, $q=2p-3$ を $\maru2$ に代入して,
$p^2+(2p-3)^2=4$
$5p^2-12p+5=0$
この2次方程式を解いて,
$p=\dfrac{6\pm\sqrt{11}}{5}$
$q=2p-3$ より,
$q=\dfrac{-3\pm2\sqrt{11}}{5}$
このとき, 接線の式は,
$\left(\dfrac {6\pm\sqrt{11}}{5} \right)x+\left( \dfrac{-3\pm2\sqrt{11}}{5} \right)y=4$ 　(下図青線)
$\maru4$ より, $q=2p-1$ を $\maru2$ に代入して,
$p^2+(2p-1)^2=4$
$5p^2-4p-3=0$
この2次方程式を解いて,
$p=\dfrac{2\pm\sqrt{19}}{5}$
$q=2p-1$ より,
$q=\dfrac{-1\pm2\sqrt{19}}{5}$
このとき, 接線の式は,
$\left( \dfrac{2\pm\sqrt{19}}{5} \right)x+\left( \dfrac{-1\pm2\sqrt{19}}{5} \right)y=4$ 　(下図赤線)
以上より求める接線の式は,
$\left(\dfrac {6\pm\sqrt{11}}{5} \right)x+\left( \dfrac{-3\pm2\sqrt{11}}{5} \right)y=4$ , $\left( \dfrac{2\pm\sqrt{19}}{5} \right)x+\left( \dfrac{-1\pm2\sqrt{19}}{5} \right)y=4$

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