高校数学：整数問題：末尾には0が連続して何個並ぶか

2022年12月20日2024年4月16日

こんにちは。定期テストによく出てくる問題ですね。それではいってみましょう。

問題

1から400までの400個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots\cdots\, \cdot400$ について次の問いに答えよ。
(1) $N$ を素因数分解したとき, 素因数5の個数を求めよ。
(2) $N$ を計算すると, 末尾には0が連続して何個並ぶか。

解答・解説

(1) 1から400までの自然数のうち,
5の倍数の個数は　 $400\div5=80$ , 80個
25の倍数の個数は　 $400\div25=16$ , 16個
125の倍数の個数は　 $400\div125=3.\cdots$ , 3個
よって, 素因数5の個数は全部で,
$80+16+3=99$
99個
(2) 末尾に続く0の個数は, $N=1\cdot2\cdot3\cdots\cdots\, \cdot400$ に含まれる因数10の個数であり, 10は素因数2と5に分解できる。1から400の自然数の中に含まれる因数2の個数は因数5の数より明らかに多いので, 因数10の個数は因数5の個数と等しい。
したがって, $N$ を計算すると, 末尾には連続して99個の0が並ぶ。

問題

解答・解説

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