高校数学：数字の順列(数の大小関係が条件)

2022年12月31日2025年11月23日

こんにちは。頻出系問題です。それではどうぞ。

問題

1個のサイコロを4回投げて出た目を $a, b, c, d$ とする。
(1) $a<b<c<d$ となる場合は何通りあるか。
(2) $a\leqq b\leqq c\leqq d$ となる場合は何通りあるか。

解答例

解答　クリックしてください

(1) さいころの出る目は1から6までの6通りしかありません。したがって, その中から4つ選んで, 小さい順に $a, b, c, d$ とすればいいのです。つまり, 6個から4個選べばいいので,
${}_{6}\mathrm{C}_{4}={}_6\mathrm{C}_{2}=15$
$15$ 通り
(2) 考え方
【解法1】
$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は整数なので，
$a\leqq b\iff a<b+1$ ， $b\leqq c\iff b<c+1$ ， $c\leqq d\iff c<d+1$
これより，
$a<b+1<c+2<d+3$ となる。 $\cdots\maru1$
また，
$1\leqq a\leqq b\leqq c\leqq d\leqq6$ であり， $\maru1$ よりこれは，
$1\leqq a<b+1<c+2<d+3\leqq9$ と変形でき，
これは1～9の整数の中から4つ選んで，小さい順に， $a$ ， $b+1$ ， $c+2$ ， $d+3$ とすればよいので，求める場合の数は，
$_9\text{C}_4=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126$ (通り)
【解法2】