高校数学：確率：期待値について

こんにちは。今回は期待値について書いておきます。

期待値とは

期待値とは, ある試行を1回行ったときにその結果として得られる数値の期待できる値(平均値)のことです。
期待値が分かることで, その試行を行った方が損か得かが知れ, その試行を行うかどうかの判断材料の1つになります。

期待値の求め方

期待値を求める公式

ある試行において, 確率変数 $X$ のとる値が, $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ で, $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ の値に対する確率が, それぞれ, $p_1, p_2, p_3, \cdots, p_n$ であるとすると, 期待値 $E[X]$ は次の式で与えられます。
$E[X]=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3+\cdots+p_nx_n\cdots\maru1$
また, 単に
$E[X]=\displaystyle \sum_{k=1}^n p_kx_k\cdots\maru2$
とします。
$\displaystyle \sum$ の記号を履修していない人のために補足すると,
$\displaystyle \sum$ はシグマと言い, 総和を意味します。上の $\displaystyle \sum_{k=1}^n$ の意味は, $k$ を1から $n$ まで1つずつ変化させ1～ $n$ まで足しなさいと命令しています。 $\maru1$ と $\maru2$ は同じ意味です。

期待値の問題(コイン)

【問題】3枚のコインを同時に投げるとき, 表の枚数の期待値を求めよ。
【解答例】
表を〇, 裏を $\times$ とすると, すべての出方は $2^3=8$ 通りあり, その内訳は,
表0枚 $\cdots$ ( $\times$ , $\times$ , $\times$ ) $\cdots$ 1通り
表1枚 $\cdots$ (〇, $\times$ , $\times$ ), ( $\times$ , 〇, $\times$ ), ( $\times$ , $\times$ , 〇) $\cdots$ 3通り
表2枚 $\cdots$ (〇, 〇, $\times$ ), (〇, $\times$ , 〇), ( $\times$ , 〇, 〇) $\cdots$ 3通り
表3枚 $\cdots$ (〇, 〇, 〇) $\cdots$ 1通り
確率で表すと,
表0枚 $\cdots$ 確率 $\dfrac18$
表1枚 $\cdots$ 確率 $\dfrac38$
表2枚 $\cdots$ 確率 $\dfrac38$
表3枚 $\cdots$ 確率 $\dfrac18$
したがって, 表の枚数の期待値は,
$0\times\dfrac18+1\times\dfrac38+2\times\dfrac38+3\times\dfrac18=\dfrac{3}{2}$
よって, 表の枚数の期待値は $\dfrac32$ 枚

期待値の問題(損か得か)

【問題】次のくじを引くことを考える。
1等1000円が1本, 2等500円が2本, 3等200円が5本入っている総数100本のくじがある。この中から1本40円でくじを引く。ただし, はずれを引いた場合は賞金は0円とする。この1本40円というのはこのくじ引きの期待値と比べて, 損か得か調べよ。
【解答例】
1等1000円 $\cdots$ 確率 $\dfrac{1}{100}$
2等500円 $\cdots$ 確率 $\dfrac{2}{100}$
3等200円 $\cdots$ 確率 $\dfrac{5}{100}$
はずれ0円 $\cdots$ 確率 $\dfrac{92}{100}$
したがって, 1本あたりの賞金の期待値は,
$1000\times\dfrac{1}{100}+500\times\dfrac{2}{100}+200\times\dfrac{5}{100}+0\times\dfrac{92}{100}=30$ (円)
よって, 1本のくじに期待できる賞金は30円なので, そのくじを1本40円で引くことは損であると判断できる。

【別解】
くじを全部買ったとして得られる賞金は $1000+500\times2+200\times5=3000$ (円)であり, 1本あたりの賞金は $3000\div100=30$ 円である。したがって, このくじを1本あたり40円で買うと損をすることが分かる。