TikZ：中学数学：R5(2023)年度徳島県公立高校入試：数学：大問2　関数

さて, 令和5年度の徳島県の入試問題の関数をやっていきましょう。

大問2関数の問題

下の図のように, 2つの関数 $y=x^2$ と $y=ax^2\, ( 0<a<1 )$ のグラフがある。関数 $y=x^2$ のグラフ上の2点A, B, 関数 $y=ax^2$ のグラフ上に点Cがあり, 点Aの $x$ 座標は2, 点B, Cの $x$ 座標は $-3$ である。(1)～(4)に答えなさい。

(1) 関数 $y=x^2$ のグラフと $x$ 軸について線対称となるグラフの式を求めなさい。
(2) 2点A, Bを通る直線の式を求めなさい。
(3) △ABCの面積を $a$ を用いて表しなさい。
(4) 線分ACと線分OBとの交点をDとし, 点Eを $y$ 軸上にとる。四角形BDAEが平行四辺形となるとき, $a$ の値を求めなさい。

解答例

【解答例】
(1) $x$ 軸について線対称ということは, $x$ 軸を折り目として折ったときに重なる。
よって, $y=-x^2$
(2) $\mathrm{A(2, 4),\ B(-3, 9)}$ なので, $y=px+q$ にそれぞれ, $\mathrm{A(2, 4),\ B(-3, 9)}$ を代入して,
$2p+q=4$ , $-3p+q=9$ この連立方程式を解いて, $p=-1$ , $q=6$
よって, 求める直線の式は, $y=-x+6$
(3) $\mathrm{A}(2, 4)$ , $\mathrm{B}(-3, 9)}$ , $\mathrm{C}(-3, 9a)}$ なので, $\mathrm{BC}=9-9a$ , 線分BCを底辺と考えると高さは, 点Aから線分BCに下ろした垂線になる。この長さは, $2-(-3)=5$ (高さ)なので, 求める面積は,
$(9-9a)\times5\times\dfrac12=\dfrac{45-45a}{2}$
(4)

直線OBは比例の関数なので, B(-3, 9)より, 直線OBの式は $y=-3x$ である。これと直線AEは平行(平行四辺形だから)なので, 直線AEの式は, $y=-3x+b$ とおけて, これが, A(2, 4)を通るので, $4=-3\times2+b$ より, $b=10$ となり, 直線AEの式は $y=-3x+10$ となるので, E(0, 10)が分かる。このとき, 点Eから点Aへは, $x$ 軸方向に $2$ , $y$ 軸方向に $-6$ 進んでいるので, 点Bから点Dにも同様に, $x$ 軸方向に $2$ , $y$ 軸方向に $-6$ 進んでいる(平行四辺形だから)。したがって, Dの座標は, D $(-3+2, 9-6)$ となり, D $(-1, 3)$ を得る。このとき, 直線ADは2点A(2, 4), D $(-1, 3)$ を通るので, 直線ADの式は, $y=\dfrac13x+\dfrac{10}{3}\cdots\maru1$ となる。点Cは直線AD上にあるので, C $(-3, 9a)$ を $\maru1$ に代入して,
$9a=\dfrac13\times(-3)+\dfrac{10}{3}$
$9a=\dfrac73$
よって,
$a=\dfrac{7}{27}$

大問2関数の問題

解答例

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