高校数学：数と式：有名不等式x²+y²+z²≧xy+yz+zxの証明

こんにちは、有名不等式の登場です。

有名不等式

$x^2+y^2+z^2\geqq xy+yz+zx$
等号成立は $x=y=z$ のときである。

有名不等式の証明

さて, 証明はこんなの思いつかないよという方法でやってみようと思います。
まず与式の右辺を左辺に移項します。
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\geqq0$
そして次のように変形します。思いつきます？
$\dfrac12(2x^2+2y^2+2z^2-2xy+2yz-2zx)\geqq0$
次にこれを2乗の形に因数分解できるように並べ替えると,
$\dfrac12\left\{(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)\right\}\geqq0$
かっこの中を因数分解して,
$\dfrac12\left\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right\}\geqq0$
となり, 左辺は0以上であることが示されました。
等号成立は, $x=y=z$ のときである。

2次式は平方完成していくという方法

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\geqq0$
左辺を $x$ についての2次式とみて平方完成していく方法です。
$x$ についての降べきの順に並べると,
$x^2-(y+z)x+y^2-yz+z^2\geqq0$
$\left(x-\dfrac{y+z}{2}\right)^2-\left(\dfrac{y+z}{2}\right)^2+y^2-yz+z^2\geqq0$
$\left(x-\dfrac{y+z}{2}\right)^2+\dfrac34y^2-\dfrac32yz+\dfrac34z^2\geqq0$
$\dfrac34y^2-\dfrac32yz+\dfrac34z^2$ の部分を $y$ の2次式として平方完成すると,
$\left(x-\dfrac{y+z}{2}\right)^2+\dfrac34\left(y-z)^2\geqq0$
よって左辺は0以上であるから示された。
等号成立は $x=y=z$ のときである。

2次式の場合は平方完成を多投すれば示されることはよく知られている。

有名不等式

有名不等式の証明

2次式は平方完成していくという方法

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