高校数学：数と式：対称式と基本対称式とは

こんにちは。対称式について書いておきます。

対称式とは

2変数対称式
2変数 $x$ と $y$ を入れ替えても式の様子が変わらないもの。
つまり, $f(x, y)=f(y, x)$ が成り立つ式。

例　 $x+y$ , $x\to y$ , $y\to x$ とすると, $y+x=x+y$ と式が変わらない。したがって, $x+y$ は対称式。
$x^2y^2$ , $x\to y$ , $y\to x$ とすると, $y^2x^2=x^2y^2$ と式が変わらない。したがって, $x^2y^2$ は対称式である。

3変数対称式
3変数 $x, y, z$ のどの2変数を入れ替えても式の様子が変わらないもの。
つまり, $f(x, y, z)=f(y, x, z)=f(x, z, y)=f(z, y, x)$ が成り立つ式。

例　 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ , $x\to y$ , $y\to x$ とすると, $y^3+x^3+z^3-3yxz=x^3+y^3+z^3-3xyz$ 。同様に, $y\to z$ , $z\to y$ としても, $x\to z$ , $z\to x$ としても式は変わらない。
したがって, $x^3+y^3+z^3-3xyz$ は対称式である。

基本対称式

2変数の基本対称式
$\maru1\ x+y$ , $\maru2\ xy$
3変数の基本対称式
$\maru1\ x+y+z$ , $\maru2\ xy+yz+zx$ , $\maru3\ xyz$

対称式の知っておくべき定理

対称式は基本対称式を用いて表すことができる。その表し方は一通りに決まる。
例
$\maru1\ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$

$\maru2\ x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$

$\begin{array}{lll}\maru3\ x^3+y^3+z^3-3xyz&=&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\\&=&(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)\\&=&A^3+z^3-3xy(x+y+z)\\&=&(A+z)(A^2-zA+z^2)-3xy(x+y+z)\\&=&(x+y+z)\left\{(x+y)^2-z(x+y)+z^2\right\}-3xy(x+y+z)\\&=&(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy)\\&=&(x+y+z)\left\{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\right\}\\&=&(x+y+z)\left\{(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)\right\}\end{array}$
途中わかりやすくするために, $x+y=A$ としてある。

対称式とは

基本対称式

対称式の知っておくべき定理

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