高校数学：正弦定理：余弦定理を用いた正弦定理の証明

2024年10月24日

こんにちは。正弦定理の証明です。

正弦定理の証明

パターン1: $\theta$ が鋭角の場合( $\sankaku{ABC}$ が鋭角三角形)

$\sankaku{OBC}$ で余弦定理を用いると,
$a^2=R^2+R^2-2R^2\cos2\theta$
$2R^2\cos2\theta=2R^2-a^2$
$\cos2\theta=1-\dfrac{a^2}{2R^2}\cdots\maru1$
$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$
$1=\sin^2\theta+\cos^2\theta$
から $\maru1$ は
$\cos^2\theta-\sin^2\theta=\sin^2\theta+\cos^2\theta-\dfrac{a^2}{2R^2}$
となり, これを整理すると,
$\sin^2\theta=\dfrac{a^2}{4R^2}$
$\sin\theta>0$ より,
$\sin\theta=\dfrac{a}{2R}$
となり,
$\dfrac{a}{\sin A}=2R$
$\kaku{B}$ , $\kaku{C}$ についても同様のことが言えるので,
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
が成り立つ。

パターン2: $\theta$ が鈍角の場合( $\sankaku{ABC}$ が鈍角三角形)

円周角の定理より, $\kaku{BOC}=360\Deg-2\theta$ となる。
$\sankaku{OBC}$ で余弦定理を用いると,
$a^2=R^2+R^2-2R^2\cos(360\Deg-2\theta)$
$a^2=2R^2-2R^2\cos2\theta$
以下上と同じ証明。
$\kaku{B}$ , $\kaku{C}$ については鋭角なので上と同じ。
よって,
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
が成り立つ。

2020年12月29日TikZ：高校数学：正弦定理とその証明

正弦定理の証明

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