複素数の回転について：加法定理による証明

こんにちは。相城です。複素数の性質の中での拡大縮小回転の証明(補足)について書いておきます。高2で習う加法定理を用いますので以下の定理をご確認ください。

加法定理

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

2つの複素数の積

2つの複素数を以下のようにおきます。
$z_1=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)$
$z_2=r_2(\cos\beta+i\sin\beta)$
このとき, $z_1$ に $z_2$ をかけることを考えると, 2つの複素数の積は,
$\begin{array}{lll}&&z_1\cdot z_2\\&=& r_1 r_2 (\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)} \\&=& r_1 r_2(\cos\alpha\cos\beta+i\sin\beta\cos\alpha+i\sin\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)} \\&=& r_1 r_2\left\{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+i(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)\right\}\cdots(\text{A}) \\&=& r_1 r_2\left\{\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right\}\cdots(\text{B})\end{array}$
となり, 元の偏角 $\alpha$ は $\alpha+\beta$ と $\beta$ 増えていることが確認できます。また大きさ $r_1$ は $r_2$ 倍されていることが確認できます。すなわち, 2つの複素数の積は反時計回りに $\beta$ 回転させ, 大きさを $r_2$ 倍にする(拡大)ことを意味します。(A)⇒(B)に加法定理を用いています。

2つの複素数の商

今度は, $z_1$ を $z_2$ で割ることを考えると, 2つの複素数の商は,
$\begin{array}{lll}&&\dfrac{z_1}{z_2}\\&=&\dfrac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} \\&=&\dfrac{r_1}{r_2}\cdot\dfrac{(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta-i\sin\beta)}{(\cos\beta+i\sin\beta)(\cos\beta-i\sin\beta)} \\&=&\dfrac{r_1}{r_2}\cdot\dfrac{(\cos\alpha\cos\beta-i\sin\beta\cos\alpha+i\sin\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)}{\cos^2\beta+\sin^2\beta} \\&=&\dfrac{r_1}{r_2}\left\{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta+i(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)\right\}\cdots(\text{C}) \\&=&\dfrac{r_1}{r_2}\left\{\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\right\}\cdots(\text{D})\end{array}$
となり, 元の偏角 $\alpha$ は $\alpha-\beta$ と $\beta$ 減っていることが確認できます。また大きさ $r_1$ は $\displaystyle \frac{1}{r_2}$ 倍されていることが確認できます。すなわち, 2つの複素数の商は時計回りに $\beta$ 回転させ, 大きさを $\displaystyle \frac{1}{r_2}$ 倍にすることを意味(縮小)します。(C)⇒(D)に加法定理を用いています。

それでは。

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