TikZ：中学数学：令和7年度：第3回基礎学力テスト数学(平面図形)解説

今回の基礎学は平均点が50点を越えそうですね。今回は平面図形を解説したいと思います。

問題

下の図のように， $\text{AB}=\text{AC}=4\, \text{cm}$ の二等辺三角形ABCがある。3点B，A，Dがこの順に一直線上にあるように， $\text{CB}=\text{CD}=6\, \text{cm}$ となる点Dをとる。 $\kaku{ACD}$ の二等分線とADとの交点をEとする。また， $\kaku{CBD}$ の二等分線とCDの交点をF，線分BFと線分AC，ECとの交点をそれぞれG，Hとする。次の(1)～(3)に答えなさい。

(1) $\sankaku{ABC}$ ∽ $\sankaku{CBD}$ であることを証明しなさい。
(2) 線分DEの長さを求めなさい。
(3) $\sankaku{CFH}$ の面積は， $\sankaku{BCD}$ の面積の何倍であるか求めなさい。

解答・解説

【解答】
(1) $\sankaku{ABC}$ と $\sankaku{CBD}$ で，
共通な角なので，
$\kaku{ABC}=\kaku{CBD}\cdots\maru1$
$\sankaku{ABC}$ と $\sankaku{CBD}$ は二等辺三角形だから
2つの底角は等しいので，
$\kaku{ABC}=\kaku{ACB}\cdots\maru2$
$\kaku{CBD}=\kaku{CDB}\cdots\maru3$
$\maru1$ ， $\maru2$ ， $\maru3$ より，
$\kaku{ACB}=\kaku{CDB}\cdots\maru4$
$\maru1$ ， $\maru4$ より，2組の角がそれぞれ等しいので，
$\sankaku{ABC}$ ∽ $\sankaku{CBD}$
(2) 3cm
(3) $\dfrac{1}{15}$ 倍
【解説】
(2) $\sankaku{ABC}$ ∽ $\sankaku{CBD}$ なので，BDを求める。 $\text{BD}=x$ とおくと，
$4 : 6 = 6 : x$
$x=9\cdots\text{BD}$
よって， $\text{AD}=5$
ここで， $\text{AC}=4$ ， $\text{CD}=6$ であるから，角の二等分線の比から， $\text{AE} : \text{ED}=\fbox{2} : \fbox{3}$ である。
したがって， $\text{DE}=3$

(3) 角の二等分線の比より， $\text{BC} : \text{BE}=\text{CH} : \text{EH}=\textcircled{\scriptsize{1}} : \textcircled{\scriptsize{1}}$ ， $\text{BC} : \text{BD}=\text{CF} : \text{DF}=\fbox{2} : \fbox{3}$
したがって， $\sankaku{BCD}=S$ とおくと，
$\sankaku{CFH}=S\times\dfrac39\times\dfrac{\maru1}{\maru2}\times\dfrac{\fbox{2}}{\fbox{5}}=\dfrac{1}{15}S$

問題

解答・解説

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