TikZ：R7中2徳島県基礎学力テスト(平面図形)解説

こんにちは。最後の問題は受験算数やってればよく見かける図でしたね。早速やってみましょう。

問題

下の図で，正方形AEFGは，正方形ABCDを，点Aを回転の中心として，反時計まわりに何度か回転移動させたものである。ただし，回転の角度は $90\Deg$ を越えない。点Gと点Bを結び，線分BGと辺AE，辺ADとの交点をそれぞれ $\text{H}$ ， $\text{I}$ としたとき，次の(1)・(2)に答えなさい。

(1) $\sankaku{ABH}\equiv\sankaku{AGI}$ であることを証明しなさい。
(2) 回転の角度が $40\Deg$ のとき，次の $\maru1$ ， $\maru2$ に答えなさい。
$\maru1$ $\kaku{GID}$ の大きさを求めなさい。
$\maru2$ 正方形の対角線ACの長さが8cmのとき，下の図の色のついた部分の面積を求めなさい。

解答・解説

【解答】
(1) $\sankaku{ABH}$ と $\sankaku{AGI}$ で，
仮定より，
$\text{AB} = \text{AG}\cdots\maru1$
$\maru1$ より，
$\kaku{ABH}=\kaku{AGI}\cdots\maru2$
$\kaku{BAH}=90\Deg-\kaku{HAI}$
$\kaku{GAI}=90\Deg-\kaku{HAI}$ であるから，
$\kaku{BAH}=\kaku{GAI}\cdots\maru3$
$\maru1$ ， $\maru2$ ， $\maru3$ より，
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
$\sankaku{ABH}\equiv\sankaku{AGI}$
(2)
$\maru1$ $65\Deg$
$\maru2$ $\dfrac{64}{9}\pi\text{cm}^2$
【解説】
(2)
$\maru1$ 回転角が $40\Deg$ ということは， $\kaku{BAE}=\kaku{DAG}=40\Deg\cdots(A)$
よって， $\sankaku{ABG}$ は頂角 $130\Deg$ の二等辺三角形。したがって， $\kaku{ABG}=\kaku{AGB}=25\Deg\cdots(B)$
$(A)$ ， $(B)$ より， $\kaku{GID}=65\Deg$
$\maru2$ 線分ACと線分AFをひく。

ここで，求める面積は $\sankaku{ABC}+$ (おうぎ形ACF) $-\sankaku{AEF}$ で表され， $\sankaku{ABC}$ ， $\sankaku{AEF}$ の面積は等しいので，求める図形の面積は，おうぎ形ACFの面積と等しくなる。
よって，求める面積は，
$8\times8\times\pi\times\dfrac{40}{360}=\dfrac{64}{9}\pi$

問題

解答・解説

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