こんにちは。相城です。さて今回は2020年3月に徳島県で行われた高校入試の数学の問題より関数と図形の問題をピックアップ。それではどうぞ。
下の図のように, 2つの関数と
のグラフが,
座標が
である点Aで交わっている。直線OAと, 関数
のグラフとの交点のうち, 点Aと異なる点をBとする。また, 点Cの座標は(0, 4)であり, 点Pは線分OB上の点である。(1)~(4)に答えなさい。
(1) 点Aの座標を求めなさい。
(2) 関数について,
の変域が
のときの
の変域を求めなさい。
(3) 点Pが線分OBの中点のとき, 2点C, Pを通る直線の式を求めなさい。
(4) のとき, 点Pの座標を求めなさい。
![](https://mathtext.info/blog/wp-content/uploads/2020/02/1yohaku.png)
答え
(1) ![Rendered by QuickLaTeX.com -3](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22428a0e81721bd44d34c630bb3aed62_l3.png)
(2)![Rendered by QuickLaTeX.com -12\leqq y\leqq 0](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-177af17aae5333c80068d8db7f89849a_l3.png)
(3) A
より, B(1, 3)であるから, 線分OBの中点の座標は
。
求める直線の式は
とおけるので, これに
を代入し
を求めると, ![Rendered by QuickLaTeX.com a=-5](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d961ad3b905ab0d88d3d7c548699f245_l3.png)
よって, 求める直線の式は![Rendered by QuickLaTeX.com y=-5x+4](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-513713c9f7d555b7615471280f047893_l3.png)
(4) 点Cを通る
軸に平行な直線と, 直線直線OBの交点をQとするとき, △PCQが二等辺三角形になればよい。このとき△PCQの頂角
は
の2倍になる。
Pの
座標を
とすると点Qの
座標は
となるので, Qの座標はQ
となる。この点Qが直線OB(
)上にあるので,
の式に点Qの座標を代入すると,
,
![Rendered by QuickLaTeX.com t=\dfrac{2}{3}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e71e44729ad4e6589582b65c17d8296d_l3.png)
よって求めるPの
座標は
なので, これを
の式に代入し,
。よって, P
![Rendered by QuickLaTeX.com -3](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22428a0e81721bd44d34c630bb3aed62_l3.png)
(2)
![Rendered by QuickLaTeX.com -12\leqq y\leqq 0](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-177af17aae5333c80068d8db7f89849a_l3.png)
(3) A
![Rendered by QuickLaTeX.com (-1,-3)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1c462137982d2626aa7e120931ad859_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\cdots\maru1](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58eabbbe8bd6050be138f8ad881001e7_l3.png)
求める直線の式は
![Rendered by QuickLaTeX.com y=ax+4](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1793cfe9dd6f67bbc32c59f7c92d63b0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru1](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8b8ec9c0d15342374d474f3407d687d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e4239cd9fe5a53bc98c863c75818b12_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a=-5](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d961ad3b905ab0d88d3d7c548699f245_l3.png)
よって, 求める直線の式は
![Rendered by QuickLaTeX.com y=-5x+4](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-513713c9f7d555b7615471280f047893_l3.png)
(4) 点Cを通る
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{CPQ}}(\angle{\text{BPC}})](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14fbb0c0a6130fe2c7c3aaaee35cf1a9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{OCP}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c32ee1eab3af6dbc5f48b66741aa623_l3.png)
Pの
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b406bbb54258d4eecd44d6c4f4f19e0f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2t](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6412c6c3d49f3d04a16a0e96b4d64d11_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (2t, 4)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efe80cfa621c9d1d6da241e1c997e8c2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=3x\cdots\maru2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5a34d87494d2948524e3e7997e8a58d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b55f3d993b1bbf2d3a2ca1e85ea19bd7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4=6t](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9890e3d34788b3a3d06ab0562c8bf112_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t=\dfrac{2}{3}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e71e44729ad4e6589582b65c17d8296d_l3.png)
よって求めるPの
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{2}{3}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91b9590d9e32c417dc58fec8ec138aad_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b55f3d993b1bbf2d3a2ca1e85ea19bd7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-955d05c678b7883733315390ec8c1e59_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\dfrac{2}{3}, 2\right)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-082ae040a597f85112e592f6989928af_l3.png)
この解法も参照ください。
△PCOがPCPOの二等辺三角形になれば, 問題の条件は満たす。このとき, Pの
座標はCOの中点になるので, Pの
座標は2である。これを
に代入し,
,
として,
Pを得る。
三角形PCOが二等辺三角形として求めるのもアリですね!
ありがとうございます。
なるほどです。
答に追記しておきます。