こんにちは。相城です。今回は皆さん疑問に思ったことがあるかもしれません。連立方程式の増減の問題で, なんで今年の人数を,
と置かないんだろうか?と。その疑問を見ていきましょう。
一般的な解法の裏側
問題:ある中学校で去年の生徒の人数は335人で, 今年は男子が5減り, 女子が4
増えたので全体としては1人減った。
今年の男子と女子の人数を求めなさい。
よくありきたりな中学2年生で習う連立方程式の割合(増減)の文章問題である。
通常去年の男子の人数人, 去年の女子の人数を
人として, 次のような連立方程式を立てるのが定石である。
式1
または,
式2
このどちらを解いても
![Rendered by QuickLaTeX.com x=160](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db8efc5de26e524e6caa3735088bd6f5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=175](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4fcd3770f82e67b585ac640ee385b7d5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 160\times 0.95=152](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72db14c6b06a2313ec86276ebc341639_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 334-152=182](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19d762da88d21b11b47044a9fc1df93a_l3.png)
答えを書くと、
今年の男子152人, 今年の女子182人
![Rendered by QuickLaTeX.com \cdots](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f92a08ced98be124fef39e8b49d7144a_l3.png)
ここで, 式1の
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0caddd1d027af04be04074eaacc3ce9d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbf4cb813ae46dbb42970bf747c29856_l3.png)
形が違うだけで, まったく同じ式である。以下にそれを書いてみた。
![Rendered by QuickLaTeX.com 0.95x+1.04y=334\cdots\textcircled{\scriptsize 2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-127784e959d85b0848ab4db3d334de0c_l3.png)
展開して(かっこをはずして),
並べ替えると,
ここで, 下線部は式1の
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6c409597cd1edd40f9cf5a0814f6312_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x+y=335\cdots\textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8f7e66ea42aac14712d70e70c45c22e_l3.png)
従って次のようになる。
335を右辺へ移行して、整理すると,
となり, 式2の
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbf4cb813ae46dbb42970bf747c29856_l3.png)
式1の
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0caddd1d027af04be04074eaacc3ce9d_l3.png)
式2の
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbf4cb813ae46dbb42970bf747c29856_l3.png)
今年の人数をx, yとしてみると
では, 最後に面倒な小数の計算して今年の人数を出すぐらいなら,
何で今年の男子の人数を人, 今年の女子の人数を
人としないのか, 納得いかない。
そういう方のために実際に今年の男子, 女子の人数をそれぞれ人,
人としてやってみました。
(解)今年の男子人, 今年の女子
人とおくと,
去年の男子は人, 去年の女子は
人
これより,
これより求める式は,
なんか面倒みたいですね。ただ答えが出ることを確認するために, 最後まで力ずくで行きましょう。
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0caddd1d027af04be04074eaacc3ce9d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{1}{100}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-461a5e1c8b9238b076021541d81ba13b_l3.png)
両辺に
![Rendered by QuickLaTeX.com 95\times104](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4922f0c8137f50d4efa148da1812e45f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 1}\times95](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83a12c5b23d7c312a301fb7535f5069a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 4}-\textcircled{\scriptsize 5}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a97a690e9e0dbec8cfd83b07595571e1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{rrrrrr}&104x&+&95y&=&33098\\-)&95x&+&95y&=&31730\\ \hline&9x& & &=&1368\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e7f3a8b15f6e513c7b4e123d83fe090_l3.png)
, これを
に代入して,
よって,
今年の男子152人, 今年の女子182人(答)
この解法で, ポイントはの式でしょうね。結局式を作る過程で去年の人数を使うんだし, 今年の人数を
,
とおくと, 去年の人数が分数になってしまう。それだったら去年の人数を
,
とおいて, 今年の人数を求めた方が楽だってことでしょうね。
今年の人数を,
とおいて答えが出ないわけではないです。面倒なだけなのです。