こんにちは。マークの試験とか, 記述試験の検算のときに役立つと思うので, 紹介しておきます。
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3次関数と直線(接線)
が点
で接し, 点
で交わるときの上図で, 色のついた部分の面積を求める公式であり, その面積を
とすると,
というものである。
,
として証明する。もちろん
の場合や, 接線の上下による場合分けも考えなくてはいけないが, 証明内容としては, 同じなので, 割愛する。公式に絶対値記号が付いているのは
の場合を考慮してのことである。
【証明】
証明方法は, 3次関数と直線(接線)
が
で交わり, 接点が
であることから,
を2重解を持つことに着目すると, 面積
は次のように変形できる。
よって, これを計算していくと,
として公式が得られる。,
を考慮して,
となる。