TikZ：令和元年度　徳島県第3回基礎学力テスト：関数

こんにちは。相城です。

さて、今回は放物線の問題をやってみようと思います。
今回の問題は4つの問題のうち3つは取っておきたい問題となっていますので、数学が苦手な方も取り組んでほしいと思います。
それでは問題です。

問い：下の図のように、点Aは関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフ上にあり、Aの $x$ 座標は $-2$ である。また、点B、Dは $y$ 軸上、点Cは関数 $y=ax^2(a<0)$ のグラフ上にある。点Pは関数 $y=ax^2$ のグラフと線分ABの交点で、その座標は( $-1$ , $-1$ )である。
四角形ABCDが平行四辺形で、ADと $x$ 軸が平行になるとき、次の(1)～(3)に答えなさい。

(1)　 $a$ の値を求めなさい。
(2)　点Bの座標を求めなさい。
(3)　△PCDの面積を求めなさい。
(4)　点Aを通る直線で平行四辺形ABCDの面積を2 : 1に分ける。その直線と平行四辺形ABCDとの交点をQとするとき、直線AQの傾きをすべて求めなさい。

以上が問題になります。

解説は以下に書いていきますのでご覧になってください。

(1)　P( $-1$ , $-1$ )は関数 $y=ax^2$ 上の点なので、代入すると、
$a= -1\cdots$ (答え)となる。

(2)　点Bは直線APの切片なので、直線APを求めることに専念する。
点A( $-2, 2$ )、P( $-1$ , $-1$ )なので、直線APは $y=-3x-4$ となるので、点Bの座標は( $0, -4$ ) $\cdots$ (答え)

(3)　△PCDの面積を次のように考える。
△PCD $=$ 平行四辺形ABCD－△APD－△PBC

上図より平行四辺形ABCDは底辺がBC $=$ 2、高さがAS $=$ 6なので面積は $2\times6=12$ 、△APDは底辺AD $=$ 2、高さPQ $=$ 3なので、面積は $2\times3\div2=3$ 、△PBCは底辺BC $=$ 2、高さPR $=$ 3なので、面積は $2\times3\div2=3$ 。よって△PCDの面積は、
△PCD $=$ 12－3－3 $=$ 6 $\cdots$ (答え)

(4)　【方針】(3)より平行四辺形ABCDの面積は12であるから、2 : 1に分けるということは全体を3等分することを考えればいいので、1に当たる面積は $12\div3=4$ になる。したがって下図の△ABMが4になる場合と、△ADNが4になる場合を考えればよい。

さて、△ABMが4になる場合底辺はBMになるのですが、長さが分かっていないので $x$ として求めることにします。高さはAS $=$ 6なので、
$x\times6\times\dfrac{1}{2}=4$ とすると、
$x=\dfrac{4}{3}$ となり、M $\left(\dfrac{4}{3}, -4\right)$ となるので、直線AMの傾きは $-\dfrac{9}{5}$
次に、△ADNが4になる場合、底辺はAD $=$ 2となるので、高さTNが分かっていないので、TN $=t$ とおいて求めると、
$2\times t\times\dfrac{1}{2}=4$ として、
$t=4$ となる。したがって、Nの $y$ 座標はTの $y$ 座標2から4下に行ったところになるので、 $2-4=-2$ になる。この $-2$ という $y$ 座標は直線DC上にあるので、直線DCを求めると、D $(0, 2)$ 、C $(2, -4)$ より、 $y=-3x+2$ であるから、 $y=-2$ を代入し、 $x$ 座標を求めると $x=\dfrac{4}{3}$ となる。よってN $\left(\dfrac{4}{3}, -2\right)$ であるから、直線ANの傾きは $-\dfrac{6}{5}$
以上より、求める傾きは $-\dfrac{9}{5}$ 、 $-\dfrac{6}{5}\cdots$ (答え)