TikZ:令和元年度 徳島県第3回基礎学力テスト:関数

こんにちは。相城です。

さて、今回は放物線の問題をやってみようと思います。
今回の問題は4つの問題のうち3つは取っておきたい問題となっていますので、数学が苦手な方も取り組んでほしいと思います。
それでは問題です。

問い:下の図のように、点Aは関数y=\dfrac{1}{2}x^2のグラフ上にあり、Aのx座標は-2である。また、点B、Dはy軸上、点Cは関数y=ax^2(a<0)のグラフ上にある。点Pは関数y=ax^2のグラフと線分ABの交点で、その座標は(-1, -1)である。
四角形ABCDが平行四辺形で、ADとx軸が平行になるとき、次の(1)~(3)に答えなさい。

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(1) aの値を求めなさい。
(2) 点Bの座標を求めなさい。
(3) △PCDの面積を求めなさい。
(4) 点Aを通る直線で平行四辺形ABCDの面積を2 : 1に分ける。その直線と平行四辺形ABCDとの交点をQとするとき、直線AQの傾きをすべて求めなさい。

以上が問題になります。

解説は以下に書いていきますのでご覧になってください。

(1) P(-1, -1)は関数y=ax^2上の点なので、代入すると、
a= -1\cdots(答え)となる。

(2) 点Bは直線APの切片なので、直線APを求めることに専念する。
点A(-2, 2)、P(-1,-1)なので、直線APはy=-3x-4となるので、点Bの座標は(0, -4)\cdots(答え)

(3) △PCDの面積を次のように考える。
△PCD=平行四辺形ABCD-△APD-△PBC

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上図より平行四辺形ABCDは底辺がBC=2、高さがAS=6なので面積は2\times6=12、△APDは底辺AD=2、高さPQ=3なので、面積は2\times3\div2=3、△PBCは底辺BC=2、高さPR=3なので、面積は2\times3\div2=3。よって△PCDの面積は、
△PCD=12-3-3=6\cdots(答え)

(4) 【方針】(3)より平行四辺形ABCDの面積は12であるから、2 : 1に分けるということは全体を3等分することを考えればいいので、1に当たる面積は12\div3=4になる。したがって下図の△ABMが4になる場合と、△ADNが4になる場合を考えればよい。

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さて、△ABMが4になる場合底辺はBMになるのですが、長さが分かっていないのでxとして求めることにします。高さはAS=6なので、
x\times6\times\dfrac{1}{2}=4とすると、
x=\dfrac{4}{3}となり、M\left(\dfrac{4}{3}, -4\right)となるので、直線AMの傾きは-\dfrac{9}{5}
次に、△ADNが4になる場合、底辺はAD=2となるので、高さTNが分かっていないので、TN=tとおいて求めると、
2\times t\times\dfrac{1}{2}=4として、
t=4となる。したがって、Nのy座標はTのy座標2から4下に行ったところになるので、2-4=-2になる。この-2というy座標は直線DC上にあるので、直線DCを求めると、D(0, 2)、C(2, -4)より、y=-3x+2であるから、y=-2を代入し、x座標を求めるとx=\dfrac{4}{3}となる。よってN\left(\dfrac{4}{3}, -2\right)であるから、直線ANの傾きは-\dfrac{6}{5}
以上より、求める傾きは-\dfrac{9}{5}-\dfrac{6}{5}\cdots(答え)

座標が分数のとき、直線の傾きや式を求めるときは、直線の式をy=ax+bとして、2点の座標を代入して、連立方程式で求めるといいでしょう。
それではお粗末でした。

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