整数問題・整数解を求める②

こんにちは。相城です。ユーグリッドの互除法を使って求めるパターンを置いておきます。それではどうぞ。

(1) $34x-9y=1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つけよ。
(2) $34x-9y=1$ を満たすすべての整数解を求めよ。
(3) $34x-9y=5$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つけよ。
(4) $13x+31y=3$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ見つけよ。

答え

(1)
$34=9\cdot3+7$ より $7=34-9\cdot3$ ・・・①
$9=7\cdot1+2$ より $2=9-7\cdot1$ ・・・②
$7=2\cdot3+1$ より $1=7-2\cdot3$ ・・・③
②を③にあてはめて,
$1=7-3(9-7\cdot1)$
$1=7\cdot4-9\cdot3$
これに①をあてはめて,
$1=4(34-9\cdot3)-9\cdot3$
$1=34\cdot4-9\cdot15$
よって $(x, y)=(4, 15)$
(2)
$34x-9y=1$ と $34\cdot4-9\cdot15=1$ を筆算でひくと,
$34(x-4)-9(y-15)=0$ となり、34と9は互いに素だから,
$x-4=9k,\ y-15=34k$ とおける。
よって求める整数解は、 $x=9k+4,\ y=34k+15$ ( $k$ は整数)
となる。
(3)
(1)より、(1)の答えを5倍したものが答え。よって, この場合,
$(x, y)=(20, 75)$ が答え。
(4)　
まず $13x+31y=1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1組見つけて3倍することを考える。
$31=13\cdot2+5$ より $5=31-13\cdot2$ ・・・①
$13=5\cdot2+3$ より $3=13-5\cdot2$ ・・・②
$5=3\cdot1+2$ より $2=5-3\cdot1$ ・・・③
$3=2\cdot1+1$ より $1=3-2\cdot1$ ・・・④
④に③をあてはめて,
$1=3-(5-3\cdot1)$
$1=-5+3\cdot2$
これに②をあてはめて,
$1=-5+2(13-5\cdot2)$
$1=13\cdot2-5\cdot5$
これに①をあてはめて,
$1=13\cdot2-5(31-13\cdot2)$
$1=13\cdot12+31\cdot(-5)$
よって $(x, y)=(12, -5)$ であるから,
$13x+31y=3$ を満たす整数 $x, y$ の1組は $(x, y)=(36, -15)$

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