整数問題・整数解を求める②

こんにちは。相城です。ユーグリッドの互除法を使って求めるパターンを置いておきます。それではどうぞ。

(1) 34x-9y=1を満たす整数x, yの組を1つ見つけよ。
(2) 34x-9y=1を満たすすべての整数解を求めよ。
(3) 34x-9y=5を満たす整数x, yの組を1つ見つけよ。

(4) 13x+31y=3を満たす整数x, yの組を1つ見つけよ。

答え
(1)
34=9\cdot3+7より7=34-9\cdot3・・・①
9=7\cdot1+2より2=9-7\cdot1・・・②
7=2\cdot3+1より1=7-2\cdot3・・・③
②を③にあてはめて、
1=7-3(9-7\cdot1)
1=7\cdot4-9\cdot3
これに①をあてはめて、
1=4(34-9\cdot3)-9\cdot3
1=34\cdot4-9\cdot15
よって(x, y)=(4, 15)
(2)
34x-9y=134\cdot4-9\cdot15=1を筆算でひくと、
34(x-4)-9(y-15)=0となり、34と9は互いに素だから、
x-4=9k,\ y-15=34kとおける。
よって求める整数解は、x=9k+4,\ y=34k+15(kは整数)
となる。
(3)
(1)より、(1)の答えを5倍したものが答え。よって、この場合、
(x, y)=(20, 75)が答え。
(4) 
まず13x+31y=1を満たす整数x, yの組を1組見つけて3倍することを考える。
31=13\cdot2+5より5=31-13\cdot2・・・①
13=5\cdot2+3より3=13-5\cdot2・・・②
5=3\cdot1+2より2=5-3\cdot1・・・③
3=2\cdot1+1より1=3-2\cdot1・・・④
④に③をあてはめて、
1=3-(5-3\cdot1)
1=-5+3\cdot2
これに②をあてはめて、
1=-5+2(13-5\cdot2)
1=13\cdot2-5\cdot5
これに①をあてはめて、
1=13\cdot2-5(31-13\cdot2)
1=13\cdot12+31\cdot(-5)
よって(x, y)=(12, -5)であるから、
13x+31y=3を満たす整数x, yの1組は(x, y)=(36, -15)

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