TikZ：2020年度・千葉県前期：放物線

こんにちは。相城です。2020年2月の千葉県前期問題から放物線の問題です。それではどうぞ。

下の図もように、関数 $y=ax^2$ のグラフ上に点Aがあり、点Aの座標は $(3, 4)$ である。ただし、 $a>0$ とする。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1) $a$ の値を求めなさい。
(2) $x$ 軸上に点Bを、OA $=$ OBとなるようにとる。ただし、点Bの $x$ 座標は負とする。このとき、次の①、②の問いに答えなさい。
①　2点A、Bを通る式を求めなさい。
②　原点Oを通り、直線ABに平行な直線を $\ell$ とする。点Aから $x$ 軸に垂線をひき、直線 $\ell$ との交点をCとする。また、関数 $y=ax^2$ のグラフ上に、 $x$ 座標が3より大きい点Dをとり、点Dから $x$ 軸に垂線をひき、直線OAとの交点をE、直線 $\ell$ との交点をFとする。
△AOCと四角形ACFEの面積の比が16 : 9となるとき、点Dの座標を求めなさい。

答え

(1) A(3, 4)より、 $y=ax^2$ に代入して
$9a=4$
$a=\dfrac{4}{9}$
(2)
①　OA $=\sqrt{3^2+4^2}=5=$ OB
よって、B( $-5, 0$ )となる。したがって直線ABは
A(3, 4)、B( $-5, 0$ )を通る直線である。
$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$
②　問題文を図式化すると以下のようになる。

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△AOC $=$ ⑯、四角形ACFE $=$ ⑨とすると、△EOFは⑯＋⑨＝㉕となる。このとき、△AOC∽△EOFとなり、面積比が⑯：㉕であるから、辺の比は4 : 5になる。
このことから
OP : OQ $=$ 4 : 5となり、OP $=$ 3であるから
3 : OQ $=$ 4 : 5
OQ $=\dfrac{15}{4}$
$y=\dfrac{4}{9}x^2$ に $x=\dfrac{15}{4}$ を代入して、 $y=\dfrac{25}{4}$
したがって
D $\left(\dfrac{15}{4},\dfrac{25}{4}\right)$

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