2020年度・千葉県前期：数の性質

こんにちは。相城です。2020年2月に行われた千葉県の前期問題から。突破口が見つかればやりやすいです。見つけられるかな？私のが正しいかどうかは不明ですけどね。それではどうぞ。

空の箱Aと箱Bが1つずつあり、それぞれの箱には、ビー玉の個数を増やすために、次のようなしかけがしてある。
【箱Aと箱Bのしかけ】
・箱Aにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、入れた個数の3倍になる。
・箱Bにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、入れた個数の5倍になる。
==ここまで箱A,Bのしかけ==
１つの箱にビー玉をすべて入れた後、箱の中のビー玉をすべて取り出すことをくり返し、ビー玉の個数を増やしていく。
　例えば、はじめに10個のビー玉を用意し、箱Aを1回使った後、箱Bを1回使ったときについて考える。10個のビー玉は、箱Aを使うことによって30個になり、この30個のビー玉は、箱Bを使うことによって150個になるので、最後に取り出したビー玉の個数は150個である。
このとき、次の(1)～(4)の問いに答えなさい。
(1) はじめに2個のビー玉を用意し、箱Aを2回使った後、箱Bを2回使った。最後に取り出したビー玉の個数を求めなさい。
(2) はじめにビー玉をいくつか用意し、箱A、箱Bを合計5回使ったところ、最後に取り出したビー玉の個数は2700個であった。はじめに用意したビー玉の個数を求めなさい。
(3) 箱Aと箱Bに加え、空の箱Xを1つ用意する。箱Xには、次のようなしかけがしてある。
【箱Xのしかけ】
・箱Xにビー玉を入れると、箱の中のビー玉の個数は、入れた個数の $x$ 倍になる。ただし、 $x$ は自然数とする。
==ここまで箱Xのしかけ==
はじめに1個のビー玉を用意し、箱Aを2回使った後、箱Bを1回使い、さらにその後、箱Xを2回使ったところ、最後に取り出したビー玉の個数は $540x$ 個であった。
このとき $x$ の値を求めなさい。ただし、答えを求める過程がわかるように、式やことばも書きなさい。
(4) 1枚のコインを1回投げるごとに、表が出れば箱Aを使い、裏が出れば箱Bを使うこととする。はじめに4個のビー玉を用意し、1枚のコインを4回投げ、箱A、箱Bを合計4回使うとき、最後に取り出したビー玉の個数が1000個をこえる確率を求めなさい。
ただし、コインを投げるとき、表と裏のどちらが出ることも同様に確からしいものとする。

答え

(1) $2$ ⇒ $2\times3\times3$ ⇒ $18$
$18$ ⇒ $18\times5\times5$ ⇒ $450$
450個
(2) 一瞬連立方程式の問題かと思いますが、式ができないですよね？
(1)を見つめると、同じ数字をくり返しかけていますよね。初めの個数を $x$ として、箱Aを $n$ 回使ったとして、問題通り式をつくると、どうも $x \times 3^n\times 5^{5-n}$ ってなっちゃうんですよ。これって素因数分解だなって、気づくと2700を素因数分解して
$2700=2^2\times3^3\times5^2$ ここで3と5の累乗の指数の合計は $3+2$ で5回になっているので、はじめの個数は $2^2$ すなわち4個となります。
(3) 順に計算していくと
$1\times3\times3=9$
$9\times5=45$
$45\times x\times x=45x^2$
これが $540x$ と等しいので
$45x^2=540x$
$45x^2-540x=0$
$45x(x-12)=0$
$x=0,12$
$x$ は自然数なので　 $x=12$
(4) はじめ4個あるのでそれが何倍以上になればいいかというと
$1000=4\times250$
250倍以上になればいい。
そこで250を素因数分解すると
$250=2\times5^3$
となり箱Bを最低3回使えばよい、
コインは4回投げるので、箱Bを3回か4回使う確率を求めればいい。
このことは、コインの裏が3回か4回のときと同じ意味なので、
コインの裏が3回か4回になる確率を求めると $\dfrac{5}{16}$

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