TikZ：2020年度・千葉県後期・放物線

こんにちは。相城です。今回は2020年3月2日に行われました千葉県の後期入試から放物線の問題をピックアプしました。それではどうぞ。

下の図のように、関数 $y=ax^2$ のグラフと、関数 $y=-x^2$ のグラフがある。関数 $y=ax^2$ のグラフ上に $x$ 座標が $-2$ の点Aがあり、関数 $y=-x^2$ のグラフ上に $x$ 座標が3の点Bがある。点Aの $y$ 座標が、点Bの $y$ 座標より10大きいとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
ただし、 $a>0$ とする。
また、原点Oから点(1, 0)までの距離及び原点Oから点(0, 1)までの距離をそれぞれ1㎝とする。
(1) $a$ の値を求めなさい。
(2) 2点A、Bを通る直線と、 $x$ 軸との交点をCとする。
このとき、次の①、②の問いに答えなさい。
①　点Cの $x$ 座標を求めなさい。
②　△OACを、 $y$ 軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし、円周率は $\pi$ を用いることとする。

答え

(1)
B $(3, -9)$ であるから、Aの $y$ 座標は $-9+10=1$ 。つまりA $(-2,,1)$ である。ゆえに $4a=1$ となり、 $a=\dfrac{1}{4}$
(2)
①　A $(-2, 1)$ 、B $(3, -9)$ 、Bの座標から $y=-2x-3$
Cの $y$ 座標は0なので、 $0=-2x-3$ とすると、 $x=-\dfrac{3}{2}$
$-\dfrac{3}{2}$
②

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$y$ 軸を中心に△PQAを1回転させてできる立体(円錐A)から、△POCを1回転してできる立体(円錐B)と、△OQAを1回転させてできる立体(円錐C)をひいて求めます。
円錐A＝ $2^2\pi\times4\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}\pi$
円錐B＝ $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\pi\times3\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{4}\pi$
円錐C＝ $2^2\pi\times1\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\pi$
よって求める体積は
$\dfrac{16}{3}\pi-\dfrac{9}{4}\pi-\dfrac{4}{3}\pi=\dfrac{7}{4}\pi$
$\dfrac{7}{4}\pi$ cm $^3$