高校数学：2円の交点を通る図形(円束)・GeoGebra付

こんにちは。相城です。2直線の交点を通る直線(束)について話ししましたが、今回は2円の交点を通る円束についてです。例題を見ていきましょう。
例：2円 $x^2-2x+y^2-4y=0$ と $x^2-10x+y^2-8y+16=0$ の交点を通る図形について答えなさい。
①　2円の交点を通る直線の式を求めよ。
②　2円の交点と(1, 3)を通る円の式を求めよ。

一変数の場合の問題点

一般的な解法としては直線(束)のところでも話しましたが、変数 $k$ だけを用いて表す場合です。2円の交点を通る円束(直線も含みます)は変数 $k$ を用いて以下のように表されます。
$(x^2-2x+y^2-4y)+k(x^2-10x+y^2-8y+16)=0$ ・・・(A)
①のとき、 $k=-1$ とすれば、①の解答が得られます。すなわち、
$8x+4y-16=0$ 、よって求める直線の式は
$2x+y-4=0$ となります。・・・①の答え
これは2円の交点が(0,4)、(2,0)であることからも知れると思います。
②のとき、(A)に $x=1$ 、 $y=3$ を代入すると、
$-4-8k=0$ となり、 $k=-\dfrac{1}{2}$ となる。このとき(A)は
$\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{1}{2}y^2-8=0$ であり、
整理すると
$x^2+6x+y-16=0$
$(x+3)^2+y^2=25$ ・・・②の答え
この解き方が一般的ですが、これでは表せない図形が存在します。それは $k$ の後ろのかっこの中にある式 $x^2-10x+y^2-8y+16=0$ です。実際この円上の点を(A)に代入すると、 $k$ の係数が0となって等式が成立しません。ただ、この円が表せなくても一意性は失われないということで、この解き方を用いています。この解き方がダメということではありませんのでご理解いただけたらと存じます。

完全な形で表すと

では、先ほど表せないといった円も表せるようにするには、変数 $s$ 、 $t$ を用いて以下(B)のようにすることで可能です。
$s(x^2-2x+y^2-4y)+t(x^2-10x+y^2-8y+16)=0$ ・・・(B)
①の解答は $s=1$ 、 $t=-1$ 、または $s=-1$ 、 $t=1とすることで得られます。$ つまり、 $s : t=1 : -1$ を満たす値なら求まることがわかります。
②の解答は $x=1$ 、 $y=3$ を代入すると、 $-4s-8t=0$ となり、このとき、 $s : t= 2 : -1$ ですから、これを満たす具体的な数として、 $s=2$ 、 $t=-1$ を(B)に代入して求まります。
①、②とも答えは先と同じなので割愛します。

GeoGebraで視覚的に

以下に今回の例題の様子を表しました。デフォルトは①の解答 $(2x+y-4=0)$ に設定しています。バーを動かしたりしてみてください。アニメーションをしてみたいときは、左下の▶ボタンを押してください。②の解答にしたい場合は変数 $s$ を2、変数 $t$ を $-1$ にしてください。それでは楽しんでください。

高校数学：交点を通る直線(束)・GeoGebra付

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