高校数学：円と直線の共有点の個数の攻め方

こんにちは。高校数学から円と直線の共有点の個数(位置関係)の解き方を2通りご紹介します。例題を解きながら見ていきたいと思います。

例題を見てみよう

【例】円 $x^2+y^2=9$ ・・・①と直線 $y=x-3a$ ・・・②との共有点の個数を $a$ の値によって分類せよ。

解法1：代入して判別式

まず解法の1つとして, 円の式に直線の式を代入し, 二次方程式をつくり, 実数解の個数で共通点を調べる方法があります。
①に②を代入すると
$x^2+(x-3a)^2=9$
$2x^2-6ax+9a^2-9=0$
i ) 判別式 $D>0$ のとき
$36a^2-4\cdot2\cdot(9a^2-9)>0$
$36a^2-72a^2+72>0$
$-36a^2>-72$
$a^2<2$
$-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}$
このとき共有点は2個
ii ) 判別式 $D=0$ のとき
$a^2=2$
$a=\pm\sqrt{2}$
このとき共有点は1個
iii) 判別式 $D<0$ のとき
$-36a^2<-72$
$a^2>2$
$a<-\sqrt{2}$ 、 $a>\sqrt{2}$
このとき共有点は0個

解法2：中心から直線までの距離を調べる

解法１は高１で習った判別式を用いる方法でなじみやすいのですが, これは円の式や直線の式がシンプルな場合に有効な気がします。今から紹介する方法も知っておくことで, 解法の懐が広がりますし, 慣れてくるとこちらの方が有効だったりするので, 是非マスターしてください。

円の中心(0, 0)から直線までの距離は, 直線の式を $-x+y+3a=0$ とすると,
$\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}$ ・・・(A)
i ) (A)が円の半径3より短いとき, 共有点は2個存在するので, 次の式が成り立つ。
$\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}<3$
$-3<\dfrac{3a}{\sqrt{2}}<3$
よって, $-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}$ のとき, 共有点は2個
ii) (A)が円の半径3のとき, 共有点は1個なので, 次の式が成り立つ。
$\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}=3$
$\dfrac{3a}{\sqrt{2}}=\pm3$
よって, $a=\pm\sqrt{2}$ のとき, 共有点は1個
iii) (A)が円の半径より長いとき, 共有点は0個なので, 次の式が成り立つ。
$\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}>3$
$\dfrac{3a}{\sqrt{2}}<-3$ これより, $a<-\sqrt{2}$
$\dfrac{3a}{\sqrt{2}}>3$ これより, $a>\sqrt{2}$
よって, $a<-\sqrt{2}$ , $a>\sqrt{2}$ のとき共有点は0個

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