こんにちは。相城です。方程式を違った角度から見てみようというのが今回の目標です。それではどうぞ。
中1の方程式
という方程式
この場合、左辺のと右辺の
が釣り合う(等しい)
の値を求める。
中2の連立方程式
文字を1つ消去して次元を下げる。その方法に
(i)加減法、(ii)代入法がある。
ここでは、グラフ的見方で捉えてみます。
二元一次方程式⇒(変形)⇒一次関数
結論から言うと二元一次方程式と一次関数
は同じである。
を変形すると
の一次関数の直線の式が得られる。その直線上の点、 すなわち直線の座標
はすべて
を満たす。すなわち
の座標
は
を満たす。よって
の解の集合も直線を表す。
連立方程式とは、異なる2直線の交点を求める作業なのである。
図1は以下の普通の連立方程式を表す。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/03/houteisiki1-1.png)
連立方程式の定数項(一次関数でいう切片)が違うだけの場合を不能(図2)という。
不能(解なし)
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/03/houteisiki2.png)
連立方程式の2式が同値の場合は不定(図3)という。
不定(解無数)
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/03/houteisiki3.png)
ただ、不定でもなど
とおける場合は、 その解を
として扱う場合がある。ただ中学生ではその扱いはしない? と思うのでここでは紹介だけにとどめておく。
中3の二次方程式
解法 (i)因数分解、(ii)平方完成、(**)解の公式がある。
二次方程式の一般式は次式で与えられる。
ここでこの解は、解の公式より次式で与えられる。
方程式的見方
まず左辺を平方完成させて変形していくと
![Rendered by QuickLaTeX.com a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56bc097bc254dbab2fa02c853646e4c4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab63c0bb44d5b43f33d5ca532f41c92d_l3.png)
両辺
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e4239cd9fe5a53bc98c863c75818b12_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1655eb56f597f19bbad318b2abdce8c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4bb56128d5aa9d98de49a0d8a30e4b0d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69fdf209f23d7f4c50b03ca31e6bcf31_l3.png)
これで
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbf4cb813ae46dbb42970bf747c29856_l3.png)
中学生では、二次方程式
![Rendered by QuickLaTeX.com x^2-6x+5=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc7cf5389e2fa924d9d9dd4263659241_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (x-1)(x-5)=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-247bfd3410965b8beff7332e20fd46b9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (x-1)=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c7454c1d065adfa17f834eaec42092a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (x-5)=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7494aa9d618bbf1033763ec4f6aa7b7f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x^2-5=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63860dec02d94dd555032335a85c191d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt{b^2-4ac}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ccbff2a2ac1305348d3e36be5665c51_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com b^2-4ac](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7282521214f2fff992f76f978198475e_l3.png)
補足(グラフ的解釈)
詳しくは高校生で学習してください。
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efa2fc7c19846faf88f9f496179d3fb1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha, \beta\ (\alpha<\beta)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cff534b6b7e602bdcb99cf859644d212_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9da9c1b46f8817a14a1dc17dab7d2a84_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28f9b40a3308d16b41465da4899b77d9_l3.png)
もちろん二次方程式で、
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9da9c1b46f8817a14a1dc17dab7d2a84_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28f9b40a3308d16b41465da4899b77d9_l3.png)
ここでは中学生の範囲を超えてグラフの交点として考えてみます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efa2fc7c19846faf88f9f496179d3fb1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51c601e204a250f6af80c7ee5351450b_l3.png)
ここで
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 5}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df889b7f3a63ddd9c8f7453dad48313f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 6}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2fbe7598c2b3ba4c22da90c65dab01a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 5}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df889b7f3a63ddd9c8f7453dad48313f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59e31742afe90e0cb8c10eb839f52089_l3.png)
となり、グラフに表すと図4のようになる。ここでは
![Rendered by QuickLaTeX.com (a>0)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d6f88c96ccb4dd9b233a8ba783d668b_l3.png)
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/03/houteisiki4.png)
この(二次関数)と
(
)との交点が、解の公式
で与えられるものそのものである。
また、解の公式の根号中のが次のようになると、解の個数が分かる。
解2個(
軸との交点が2個存在)
解1個(
軸と接する。交点が1個存在)
解0個(
軸とは交わらない。実数解は存在しない)
またグラフの頂点を見ても分かるように、なら
とも併せて、頂点の
座標は
となり、頂点は
より下になる。
の場合は
より上になる。
このは判別式と言ってかなり活躍するので、高校生になったらぜひ活用していただきたい。
図5にのグラフを書いてみました。
とおくと
となる。グラフ的な見方を利用すると、中1の方程式
を考えると、実は2直線
の交点の
座標だったりするのですね。面白いものです。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/03/houteisiki5.png)