中学数学：方程式の研究

こんにちは。相城です。方程式を違った角度から見てみようというのが今回の目標です。それではどうぞ。

中1の方程式

$x+3=8$ という方程式
この場合、左辺の $x+3$ と右辺の $8$ が釣り合う(等しい) $x$ の値を求める。
$x=5$

中2の連立方程式

文字を1つ消去して次元を下げる。その方法に
(i)加減法、(ii)代入法がある。
ここでは、グラフ的見方で捉えてみます。
$2x+y=7\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
二元一次方程式⇒(変形)⇒ $y=-2x+7\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$ 一次関数
結論から言うと二元一次方程式 $\textcircled{\scriptsize 1}$ と一次関数 $\textcircled{\scriptsize 2}$ は同じである。
$\textcircled{\scriptsize 1}$ を変形すると $\textcircled{\scriptsize 2}$ の一次関数の直線の式が得られる。その直線上の点、すなわち直線の座標 $(x, y)$ はすべて $\textcircled{\scriptsize 2}$ を満たす。すなわち $\textcircled{\scriptsize 2}$ の座標 $(x, y)$ は $\textcircled{\scriptsize 1}$ を満たす。よって $\textcircled{\scriptsize 1}$ の解の集合も直線を表す。
連立方程式とは、異なる2直線の交点を求める作業なのである。
図1は以下の普通の連立方程式を表す。

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}3x + y = 7 \\x - y = -3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

連立方程式の定数項(一次関数でいう切片)が違うだけの場合を不能(図2)という。
不能(解なし)

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x - y = -7 \\x - y = -3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

連立方程式の2式が同値の場合は不定(図3)という。
不定(解無数)

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}3x + y = 2 \\6x +2y =4 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ただ、不定でも $y=2x$ など $x:y=1:2$ とおける場合は、その解を $x=k,y=2k$ として扱う場合がある。ただ中学生ではその扱いはしない？と思うのでここでは紹介だけにとどめておく。

中3の二次方程式

解法 (i)因数分解、(ii)平方完成、(**)解の公式がある。
二次方程式の一般式は次式で与えられる。

$ax^2+bx+c=0\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\ \ a\neq 0$

ここでこの解は、解の公式より次式で与えられる。

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$

方程式的見方
まず左辺を平方完成させて変形していくと
$a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0$
$a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}$
両辺 $a$ で割って、
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
$x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
これで $\textcircled{\scriptsize 4}$ が得られました。
中学生では、二次方程式 $x^2-6x+5=0$ を因数分解したとき $(x-1)(x-5)=0$ となり、これを満たす条件として、 $(x-1)=0$ または $(x-5)=0$ になる $x$ を求めている。少し極端な言い方ですが、有理数の範囲で因数分解できないとき、解の公式を使えば答えが出てくる。ただし、中学生は高校生の範囲の因数分解はできないので、解の公式が役に立つ場合が多いと考える。ただし $x^2-5=0$ などは移項する方が簡単なのは言うまでもない。また、 $\sqrt{b^2-4ac}$ の根号中の $b^2-4ac$ は負となることは中学の間ではない。このことは後述するグラフ的見方において重要な役割を果たす。

補足(グラフ的解釈)
詳しくは高校生で学習してください。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ の2つの解を $\alpha, \beta\ (\alpha<\beta)$ とすると、この $\alpha$ , $\beta$ は何を表しているのでしょうか。
もちろん二次方程式で、 $\alpha$ または $\beta$ を式に代入すれば0になります。
ここでは中学生の範囲を超えてグラフの交点として考えてみます。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ を左辺と右辺で式に分けてみます。それぞれ $y=$ とおくと、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}y=ax^2+bx+c\cdots\textcircled{\scriptsize 5} \\y =0\cdots\textcircled{\scriptsize 6} \end{cases} \end{eqnarray*}$

ここで $\textcircled{\scriptsize 5}$ は二次関数(放物線)、 $\textcircled{\scriptsize 6}$ はグラフ軸の $x$ 軸を表します。
$\textcircled{\scriptsize 5}$ を平方完成すると
$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$
となり、グラフに表すと図4のようになる。ここでは $(a>0)$ としてグラフを表す。

この $\textcircled{\scriptsize 5}$ (二次関数)と $\textcircled{\scriptsize 6}$ ( $x軸$ )との交点が、解の公式 $\textcircled{\scriptsize 4}$ で与えられるものそのものである。
また、解の公式の根号中の $b^2-4ac$ が次のようになると、解の個数が分かる。
$b^2-4ac>0\cdots$ 解2個( $x$ 軸との交点が2個存在)
$b^2-4ac=0\cdots$ 解1個( $x$ 軸と接する。交点が1個存在)
$b^2-4ac<0\cdots$ 解0個( $x$ 軸とは交わらない。実数解は存在しない)
またグラフの頂点を見ても分かるように、 $b^2-4ac>0$ なら $a>0$ とも併せて、頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}<0$ となり、頂点は $x軸$ より下になる。 $a<0$ の場合は $x軸$ より上になる。
この $b^2-4ac$ は判別式と言ってかなり活躍するので、高校生になったらぜひ活用していただきたい。
図5に $y=x^2-6x+5$ のグラフを書いてみました。 $y=0$ とおくと $x=1,5$ となる。グラフ的な見方を利用すると、中1の方程式 $x+3=2x-5$ を考えると、実は2直線 $y=x+3,y=2x-5$ の交点の $x$ 座標だったりするのですね。面白いものです。

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