中学数学：円周率は3より大きいの証明

こんにちは。相城です。円周率が3より大きいことは中学生(中学生で三平方の定理を履修済みなら)でも証明可能ということを示しておきます。円周率が3.05より大きいことを証明せよは, 東京大学で出題された有名な問題でもあります。それではどうぞ。

正方形に内接する円と正多角形

円の面積は(半径) $\times$ (半径) $\times$ (円周率)で与えられる(証明略)。

一辺が20の正方形に内接する円を考える。その円に内接する正多角形を考え,
右の図は正八角形の場合である。正八角形を円の中心Oを中心に合同な三角形に八等分してみる。
このときできる三角形は頂角45 $^{\circ}$ , 頂角をはさむ2辺は10の二等辺三角形になる。

ここで△OBCについて面積を求める。
点Bから辺OCに下ろした垂線の長さは $5\sqrt{2}$ (三平方の定理, $1 : 1 : \sqrt{2}$ )であるから, △OBCの面積 $S_1$ は,

$S_1=10\times 5\sqrt{2}\times \dfrac{1}{2}=25\sqrt{2}$

正八角形の面積は $S_1$ の8個分なので, この正八角形の面積 $S_e$ は,

$S_e=25\sqrt{2}\times 8=200\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ ≒1.414とすると, 正八角形の面積は $S_e=$ 約282.8である。
またこのとき正方形の面積を $S_S$ , 円の面積を $S_O$ とし, 面積の関係を示すと,

$S_e < S_O < S_S$

正方形の面積は400, 円の面積を, $10\times10\times\pi$ とすると,

$282.8\cdots < 10\times10\times\pi < 400$

両辺100で割ると,

$2.828\cdots < \pi < 4$

となり円周率はこの範囲にあることがわかる。
右の図は正十二角形の場合である。正十二角形を円の中心Oを中心に合同な三角形に十二等分してみる。

このときできる三角形は頂角30 $^{\circ}$ , 頂角をはさむ2辺は10の二等辺三角形になる。ここで△OCDについて面積を求める。
点Cから辺ODに下ろした垂線の長さは5(三平方の定理, $1 : 2 : \sqrt{3}$ )であるから, △OCDの面積 $S_2$ は,

$S_2=10\times 5\times \dfrac{1}{2}=25$

正十二角形の面積は $S_2$ の12個分なので, この正十二角形の面積 $S_t$ は,

$S_t=25\times 12=300$

同様に, 正方形の面積と円の面積の関係を示すと,

$300<10\times10\times\pi<400$

両辺100で割ると,

$3 < \pi < 4$

となり円周率はこの範囲にあることがわかる。
このことから円周率 $\pi$ は3より大きいことがわかる。

正360角形ならどうなの？

最後に高校生になったら習う技を使って, 正360角形の面積を電卓を使って求めてみます。
長さや設定は先ほどと同じです。
下の図のような, 三角形の面積 $S$ は,

$S=\dfrac{1}{2}ab・\sin\theta$

で与えられる。

これが高校生で習う技である。ちなみにこれは底辺 $\times$ 高さ $\div$ 2の基本公式の形を変えただけであるが, 本題から外れるのでここでは紹介だけにしておく。
求める三角形の面積は, 頂角(ここでは $\theta$ )1 $^{\circ}$ , $a=b=10$ の三角形であるから, その面積 $S_{small}$ は,