中学数学：攻略・等式変形

2020年3月29日2022年5月29日

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こんにちは。今回は等式の変形についてです。攻め方を書いてみました。

等式変形・中1で習った方程式

等式の変形って実は中学1年生でやってるんですね。
中学1年生の等式で, 代表的なものが, 方程式です。
例えば
次の方程式を解け

$3x-2=4$

というものがあったとします。
これを解いていくと, 左辺の $-2$ を右辺に移項して,

$3x=4+2$

$3x=6$

両辺3でわって,

$x=2$

となります。このようにある等式から, $\underline{x}$ を求めることを, 中学2年生では, $\underline{x}$ について解くといいます。
中学校2年生では, 解く文字が $x$ だけでなく, $y$ , $a$ , $h$ などたくさん出てきます。

等式の性質

本題に入る前に, 等式の性質を復習しましょう。

$A=B$

$A+C=B+C$
$A-C=B-C$
$A\timesC=B\timesC$
$A\div C=B\div C$ 　(但し, $C$ は0でない。)
$B=A$

この等式の性質の言わんとするところは, 結局等式の変形というのは, 方程式と同じように移項ができ, 両辺に何を掛けてもいいし, 0以外の数字であれば両辺を何で割ってもいいということです。

例題を見ていこう

では例題を見ていきましょう。
問題では, $\text{[}$ 　 $\text{]}$ の中の文字について解きなさいと出てきます。

この意味を例題を見ながら解いていきましょう。

例題 $\text{[}$ 　 $\text{]}$ の中の文字について解きなさい。
例題①

$x+y=3\ \ \ \text{[} x \text{]}$

まず, $x$ について解く→ $x=$ ～に変形することなので,
左辺にある $y$ を右辺に移項する。

$x=3-y$

これで, $x=$ ～の形に変形したので, 等式の変形ができたことになる。
よって, 答えは

$x=3-y$

例題②

$3x-2=y\ \ \ \text{[} x \text{]}$

まず, $x$ について解く→ $x=$ ～に変形することなので,
左辺にある $-2$ が左辺には必要ないので, 右辺に移行する。

$3x=y-2$

一番最初にした方程式では, 右辺は計算できたけど, ここでは計算できません。したがって, $x=$ ～
にするためには, 両辺を3で割ってやる。
よって, 答えは

$x=\dfrac{y}{3}-\dfrac23$

例題③
$S=\dfrac12 ah\ \ \ \text{[} a \text{]}$

まず, $a$ について解く→ $a=$ ～に変形することなので,
右辺と左辺を入れ換えて,

$\dfrac12 ah=S$

両辺2倍して, 整数の形にして,

$ah=2S$

両辺 $h$ でわって, 答えは

$a=\dfrac{2S}{h}$

例題④

$\ell=4(2a+b)\ \ \ \text{[} b \text{]}$

まず, $b$ について解く→ $b=$ ～に変形することなので,
右辺と左辺を入れ換えて,

$4(2a-b)=\ell$

かっこをはずして,

$8a-4b=\ell$

8 $a$ を右辺に移項して,

$-4b=\ell-8a$

両辺 $-4$ で割って, 答えは

$b=-\dfrac{\ell}{4}+2a$

解くときのコツ

最後数字(特にマイナスの数字)で割るときは1つずつ割っていった方が, 符号ミスとか少なくなるので, その方がいいと思う。
また, その方が後の単元の一次関数を習うときに, しっくりくると思う。まとめて割り算する方法は効率的ではあるが, 慣れないと使い分けが難しい。

例題④の別解

例題④でかっこをはずすところは,
かっこをはずさなくてもできる。ただ, 日ごろから慣れているかっこをはずすという方法で行った方がしっくりくると思うので, そちらの解法を選んだ。最後に別解として, かっこをはずさない方法を以下に記しておく。

例題④の別解

$\ell=4(2a+b)\ \ \ \text{[} b \text{]}$

右辺と左辺を入れ換えて,

$4(2a-b)=\ell$

両辺4で割って,

$2a-b=\dfrac{\ell}{4}$

$2a$ を右辺に移項して,

$-b=\dfrac{\ell}{4}-2a$

両辺 $-1$ で割って(両辺に $-1$ をかけて), 答えは

$b=-\dfrac{\ell}{4}+2a$

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