中学数学：攻略・因数分解

こんにちは。相城です。今回は因数分解の攻略を見ていきましょう。

因数分解とは

因数分解は展開の逆の作業のことをいいます。
全てではありませんが, 簡単に言うと, かっこの無い式をかっこのある式に変形します。難しい言い方をすれば和の形を積の形だけに変換する作業です。

中2で習った因数分解

因数分解って, 厳密には中3で習うんですが, 中2で実はすこしかじっているんです。偶数 $+$ 偶数は偶数っていう文字式の説明ってやったでしょ？覚えていますか？2つの偶数を $2m$ , $2n$ とすると, その和を求めると,

$2m+2n=2(m+n)$

この作業を因数分解って言うんですね。
左辺の $2m+2n$ の各項に共通する2という因数をとりだして, 右辺の $2(m+n)$ に変形していますね。
このように, 共通する文字や数字を最大限とりだすことを因数分解といいます。
この共通する因数のことをそのまま共通因数といいます。

因数分解の基本思考の4パターン

基本１
因数分解では, 共通因数を取り出すことが基本となります。

$5xy^2+10x^2y=5xy(y+2x)$

ここで, $5xy$ は $5xy^2$ と $10x^2y$ に共通する因数(約数)です。
因数とは約数のことであることは, 素因数分解のところで勉強しました。こうやって, 式も因数で分解していきます。

基本２
現行教科書では公式から因数分解をたどっていますが, 今回は因数分解の本質？的なところから入っていきます。
それは, 展開すると

$(x+3)(x+2)=x^2+5x+6$

なるのであれば,

$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$

と因数分解できるということです。
ではどうやって考えるか, それは数字に隠されています。6という数字は最後ある2つの数を掛け算して得られた数です。また, 5はある2つの数を足して得られた数ということは公式から分かることです。ここで, 掛け算して6になる2数を考えた方が有効か, 足して5になる2数を考えた方が有効かを考えた場合, 整数の範囲に限定しても, 足して5になる2数の組み合わせは無限にあることに気付くでしょう。そして掛けて6になる2数の組み合わせ方が有限個です。ですから, 掛けて6になる2数を考えていきます。
掛けて6になる数も考え方によっては無限にありますが, 中学校の因数分解は基本的には整数の範囲で行うことが多いので, それはイレギュラーな例としてここでは扱わないことにします。
では掛けて6になる組み合わせを考えると, 以下の表ができます。