中学数学：攻略・平方根の大小

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こんにちは。相城です。今回は平方根の大小について見ていきましょう。

\sqrt{\hspace{3mm}}の大小関係は2乗して考えるか, \sqrt{\hspace{3mm}}の中に入れれば, 大体いける。今回は2乗する解法で話を進めていきます。

例題と解法を見ていこう

根号を含む大小関係の問題は両辺2乗すれば, 大体片が付きます。以下例をもって示してみましょう。

例：\sqrt{a}<3となる自然数は何個あるか。
解：両辺2乗すると, a<9となるので, これを満たす自然数は1～8の8個の自然数。よって8個

例：\sqrt{5}<a<\sqrt{26}を満たす自然数aをすべて求めよ。
解：両辺2乗すると, 5<a^2<26となる。これを満たす最初のaの値は, a=3である(5<3^2<26)。同様にa=4, 5で, a=6では26を超えてしまうので, 不適。よってa=3, 4, 5である

例：\sqrt{0.1}と0.1の大小関係を不等号で表せ。
解：それぞれ2乗して, 0.1, 0.01となるよって, 0.1>0.01だから, \sqrt{0.1}>0.1

例：次の数を大きい順に並べなさい。

    \[\dfrac{2}{\sqrt{3}},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3},\hspace{2mm} \sqrt{\dfrac{2}{3}}, \hspace{2mm}\dfrac{\sqrt{2}}{3}\]


解：それぞれ2乗して,

    \[\dfrac{4}{3},\hspace{2mm} \dfrac{4}{9},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3},\hspace{2mm} \dfrac{2}{9}\]


これは, 大きい順に,

    \[\dfrac{4}{3},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3},\hspace{2mm} \dfrac{4}{9}, \hspace{2mm}\dfrac{2}{9}\]


であるから, 大きい順に並べると

    \[\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \hspace{2mm}\sqrt{\dfrac{2}{3}},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3}, \hspace{2mm}\dfrac{\sqrt{2}}{3}\]


となる。

マイナスまで2乗しないこと

ただ注意しなくてはならないのがマイナスの数字です。
次にそれを書いておきます。
次の数字を大きい順に並べなさい。

    \[-\sqrt{\dfrac{2}{5}},\hspace{2mm} \dfrac{\sqrt{2}}{5},\hspace{2mm} -\dfrac{2}{\sqrt{5}}\]


この場合, 単純に2乗すると, 不の数が正の数に変わってしまいます。これは数字そのもの性質が変わってしまうので,
間違いです。マイナスはそのままで絶対値を2乗していると認識しておいてください。ですからこの場合

    \[-\dfrac25,\hspace{2mm} \dfrac{2}{25},\hspace{2mm} -\dfrac45\]


となり, 大きい順に並べると,

    \[\dfrac{2}{25}, \hspace{2mm}-\dfrac25, \hspace{2mm}-\dfrac45\]


となるので, 答えは

    \[\dfrac{\sqrt2}{5}, \hspace{2mm}-\sqrt{\dfrac25},\hspace{2mm} -\dfrac{2}{\sqrt{5}}\]


となります。

攻略法

平方根の大小関係は2乗して考えるか, 根号の中に入れて考える。

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