中学数学：はじめての平方根＋α

こんにちは。相城です。今回は平方根を見ていきましょう。

平方根って何？

さていよいよ？数学らしくなってくるときが来ました。無理数(むりすう)というものをこれから学びます。無理数については簡単に触れる程度の説明として, 新しい数学の記号と概念をここでは学んでください。

2乗してある数 $a$ になる数を考えていくことにします。

例えば, 2乗して36になる数は, なんですか？
$6$ と $-6$ です。
そうですね。このとき, この2つの数( $\pm 6$ プラスマイナス6と読む)を36の平方根といいます。このとき,
$+6$ は $36$ の正の平方根
$-6$ は $36$ の負の平方根
となります。

2乗すると $a$ になる値を $a$ の平方根といいます。
この場合, 36の平方根は $\pm6$ ということです。

一般に, ある数 $a\hspace{1mm} (a>0)$ の平方根は, 次の関係を満たす $x$ になります。

$x^2=a$

ですから, 平方根は正と負の2つあることになります。
ただ, 0の平方根は0しかありません。

つまり,
64の平方根は8と $-8$ ( $\pm 8$ )
$\dfrac94$ の平方根は $\pm\dfrac32$
0.04の平方根は $\pm0.2$
となります。

2乗して負になる数は中学校では学びません。
では, 上に書いたようにすんなり求まる数字はいいでしょう。考えなくてはいけないのが平方根がきちんと求まらない数です。
どういった数かといいますと, 例えば2という数字。
2乗して2になる数はいくつなんでしょうか。

$1^2=1,\hspace{1mm} 1.1^2=1.21,\hspace{1mm} 1.2^2=1.44,\hspace{1mm} 1.3^2=1.69,\hspace{1mm} 1.4^2=1.96,\hspace{1mm} 1.5^2=2.25$

$1.4^2=1.96,\hspace{1mm} 1.5^2=2.25$ であるから(1.4の2乗では2をこえなくて, 1.5の2乗で2をこえたので), 2の平方根は1.4と1.5の間にあります。次に

$1.41^2=1.9881,\hspace{1mm} 1.42^2=2.0164$

このことから, 2乗して2になる数は1.41と1.42の間にあります。
$1.411^2=1.990921,\hspace{1mm} 1.412^2=1.993744,$
$1.413^2=1.996569,\hspace{1mm} 1.414^2=1.999396,$
$1.415^2=2.002225$
このことから, 2乗して2になる数は1.414と1.415の間にあることが分かります。以下ずっと計算していけば,
2乗して2になる数を突き詰めていくことができます。

ただ, それは永遠に行っていかなくてはいけない作業になります。
このように, ある数の平方根が特定の数字として求まらないときは記号 $\sqrt{\hspace{3mm}}$ (記号の名は根号)を使って平方根を表すのが約束です。
したがって,
2の平方根は $\pm\sqrt{2}\hspace{1mm}$ ( $\pm$ ルート2と読む)
となります。
このように $\sqrt{\hspace{3mm}}$ を使って表した数字を無理数といいます。

一般に, ある数 $a\hspace{1mm} (a>0)$ の平方根は $\pm\sqrt{a}$ となります。

平方根 $\pm\sqrt{a}$ は二乗するとある数 $a$ になりますが,
$\sqrt{\hspace{3mm}}$ の中がある数の2乗になるときは $\sqrt{\hspace{3mm}}$ がはずれます。

例えば, 25の平方根は $\pm\sqrt{25}$ ですが, $25=5^2$ であるから, $\pm\sqrt{25}=\pm\sqrt{5^2}$ となって, 2乗すると25になる数がきちんと存在します。その場合は, $\pm\sqrt{25}$ とは書かず, $\pm\sqrt{25}=\pm5$ となります。ですから何でもかんでも $\sqrt{\hspace{3mm}}$ を付ければいいというものではありません。

問題

ここで簡単な？問題(解答はこのページの最後に掲載)
Q1～Q5の文を読んで, 下線部の誤りがあるものは訂正しなさい。
Q1. $(-\sqrt{7})^2$ は $\underline{7}$ である。
Q2. 10の平方根は $\underline{\sqrt{10}}$ である。
Q3. $\underline{-36}$ の平方根は $\pm6$ である。
Q4. $\sqrt{(-5)^2}=\underline{-5}$ である。
Q5. $\dfrac49$ の平方根は $\underline{\pm\sqrt{\dfrac49}}$ である。

平方根の大小

平方根の大小
平方根もれっきとした数ですから大小関係が存在します。
$a,\hspace{1mm} b$ を正の数とし, $a>b$ であるとするなら,

$\sqrt{a}>\sqrt{b}$

という関係が成り立ちます。
例 $\sqrt{7}$ と $\sqrt{10}$ の大小関係を不等号を用いて表せ。 $7<10$ より,

$\sqrt{7}<\sqrt{10}$

例 $-\sqrt{5}$ と $\sqrt{3}$ の大小関係を不等号を用いて表せ。 $-5<3$ より,

$-\sqrt{5}<\sqrt{3}$

例 $-\sqrt{6}$ と $-\sqrt{2}$ の大小関係を不等号を用いて表せ。 $-6<-2$ より,

$-\sqrt{6}<-\sqrt{2}$

このように正の数, 負の数と同様に大小関係が示すことができます。

余談

以下余力のある人。中学生レベルではほとんどいらない知識ですので,
余談ですが平方根の平方とは2乗と同じ意味です。面積の単位でcm $^2$ 平方センチメートルって言いますよね。 2乗があるのなら3乗, 4乗, $\cdots$ ってありますから, 平方根の次に3乗根(立方根), 3乗根の次に4乗根, $\cdots$ ってありそうですね。8の3乗根は2です。2を3乗すれば8になりますよね。 $-27$ の3乗根は $-3$ , 2の3乗根はきちんと求まらないので, $\sqrt[3]{2}$ と書きます。

Q1～Q5の答え

Q1. $(-\sqrt{7})^2$ は $\underline{7}$ である。
正しい。
Q2. 10の平方根は $\underline{\sqrt{10}}$ である。
$\pm\sqrt{10}$
Q3. $\underline{-36}$ の平方根は $\pm6$ である。
36
Q4. $\sqrt{(-5)^2}=\underline{-5}$ である。
5
Q5. $\dfrac49$ の平方根は $\underline{\pm\sqrt{\dfrac49}}$ である。
$\pm\dfrac23$

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