中学数学：攻略・平方根の大小

2020年4月7日2022年5月29日

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こんにちは。相城です。今回は平方根の大小について見ていきましょう。

$\sqrt{\hspace{3mm}}$ の大小関係は2乗して考えるか, $\sqrt{\hspace{3mm}}$ の中に入れれば, 大体いける。今回は2乗する解法で話を進めていきます。

例題と解法を見ていこう

根号を含む大小関係の問題は両辺2乗すれば, 大体片が付きます。以下例をもって示してみましょう。

例： $\sqrt{a}<3$ となる自然数は何個あるか。
解：両辺2乗すると, $a<9$ となるので, これを満たす自然数は1～8の8個の自然数。よって8個

例： $\sqrt{5}<a<\sqrt{26}$ を満たす自然数 $a$ をすべて求めよ。
解：両辺2乗すると, $5<a^2<26$ となる。これを満たす最初の $a$ の値は, $a=$ 3である( $5<3^2<26$ )。同様に $a=$ 4, 5で, $a=$ 6では26を超えてしまうので, 不適。よって $a=3, 4, 5$ である

例： $\sqrt{0.1}$ と0.1の大小関係を不等号で表せ。
解：それぞれ2乗して, 0.1, 0.01となるよって, 0.1 $>$ 0.01だから, $\sqrt{0.1}>0.1$

例：次の数を大きい順に並べなさい。

$\dfrac{2}{\sqrt{3}},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3},\hspace{2mm} \sqrt{\dfrac{2}{3}}, \hspace{2mm}\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

解：それぞれ2乗して,

$\dfrac{4}{3},\hspace{2mm} \dfrac{4}{9},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3},\hspace{2mm} \dfrac{2}{9}$

これは, 大きい順に,

$\dfrac{4}{3},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3},\hspace{2mm} \dfrac{4}{9}, \hspace{2mm}\dfrac{2}{9}$

であるから, 大きい順に並べると

$\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \hspace{2mm}\sqrt{\dfrac{2}{3}},\hspace{2mm} \dfrac{2}{3}, \hspace{2mm}\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

となる。

マイナスまで2乗しないこと

ただ注意しなくてはならないのがマイナスの数字です。
次にそれを書いておきます。
次の数字を大きい順に並べなさい。

$-\sqrt{\dfrac{2}{5}},\hspace{2mm} \dfrac{\sqrt{2}}{5},\hspace{2mm} -\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

この場合, 単純に2乗すると, 不の数が正の数に変わってしまいます。これは数字そのもの性質が変わってしまうので,
間違いです。マイナスはそのままで絶対値を2乗していると認識しておいてください。ですからこの場合

$-\dfrac25,\hspace{2mm} \dfrac{2}{25},\hspace{2mm} -\dfrac45$

となり, 大きい順に並べると,

$\dfrac{2}{25}, \hspace{2mm}-\dfrac25, \hspace{2mm}-\dfrac45$

となるので, 答えは

$\dfrac{\sqrt2}{5}, \hspace{2mm}-\sqrt{\dfrac25},\hspace{2mm} -\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

となります。

攻略法

平方根の大小関係は2乗して考えるか, 根号の中に入れて考える。

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