高校数学：公式・チェバの定理とその証明

こんにちは。相城です。今回はチェバの定理とその証明をしておこうと思います。一般的には高校生が扱うテーマであります。中が売生の方も用途があれば使ってください。以下出題パターンを2通り書いておきます。それではどうぞ。

チェバの定理(パターン1)

下の図△ABCで, 3直線AQ, CP, BRは1点Oで交わるものとします。このとき,

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\times \dfrac{e}{f}=1$

が成り立ちます。この定理をチェバの定理と言います。

基本の動き方は一周するように動きます。①→②→③→④→⑤→⑥

証明

証明
メネラウスの定理の利用

図1より

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}\times \dfrac{h}{g}=1\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$

図2より

$\dfrac{e}{f}\times \dfrac{g}{h}\times \dfrac{c}{c+d}=1\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$

$\textcircled{\scriptsize 1}\times \textcircled{\scriptsize 2}$

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}\times \dfrac{h}{g}\times \dfrac{e}{f}\times \dfrac{g}{h}\times \dfrac{c}{c+d}=1$

よって,

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\times \dfrac{e}{f}=1$

チェバの定理(パターン2)

下の図△ABCで, 3直線AQ, CP, BRは1点O(Oが△ABCの外部にある)で交わるものとします。このとき,

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\times \dfrac{e}{f}=1$

が成り立ちます。

基本の動き方は一周するように動きます。①→②→③→④→⑤→⑥

証明が気になる方は, この証明もメネラウス2発で証明できますので, やってみてください。