こんにちは。相城です。今回はメネラウスの定理とその証明を見ていきましょう。
メネラウスの定理
下の図の△ABCで, 点F, EはそれぞれAB,AC上の点で, BCの延長線とFEの延長線の交点をDとします。このとき,
が成り立つ。この定理をメネラウスの定理という。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/04/mene1.png)
基本の動き方 ①→②→③→④→⑤→⑥の順で動きます。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/04/mene2.png)
証明
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/04/mene3-1.jpg)
Cを通り、FDに平行な直線とABの交点をGとする。
CGDFより, BG : GF
であるから,
の長さを
を使って表すと,
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/04/mene4.png)
また, △AGCで, FEGCであるから,
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/04/mene5.png)
dを①で置き換えると,
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/04/mene6.png)
つまり,
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/04/mene7.png)
両辺を整理すると,
両辺に
![Rendered by QuickLaTeX.com \times \dfrac{e}{f}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1ed4c20aeeba3b3abbd045ff09b988a_l3.png)
ちなみに,
![Rendered by QuickLaTeX.com =1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3029eeb40ec634434fab77ccf284c684_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3029eeb40ec634434fab77ccf284c684_l3.png)
とも書ける。