高校数学：公式・メネラウスの定理とその証明

2020年4月8日2020年4月12日

こんにちは。相城です。今回はメネラウスの定理とその証明を見ていきましょう。

メネラウスの定理

下の図の△ABCで, 点F, EはそれぞれAB,AC上の点で, BCの延長線とFEの延長線の交点をDとします。このとき,

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}\times \dfrac{e}{f}=1$

が成り立つ。この定理をメネラウスの定理という。

基本の動き方　①→②→③→④→⑤→⑥の順で動きます。

証明

Cを通り、FDに平行な直線とABの交点をGとする。
CG $//$ DFより, BG : GF $=c:d$ であるから, の長さを $\textcircled{\scriptsize b}$ を使って表すと,

また, △AGCで, FE $//$ GCであるから,

dを①で置き換えると,

つまり,

両辺を整理すると,

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}=\dfrac{f}{e}$

両辺に $\times \dfrac{e}{f}$ すると

$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}\times \dfrac{e}{f}=1$

ちなみに, $=1$ ということは, 分子, 分母を全て反対にしても $=1$ なので,

$\dfrac{b}{a}\times \dfrac{d}{c+d}\times \dfrac{f}{e}=1$

とも書ける。