中学数学：攻略・関数と図形(三角形)

こんにちは。相城です。今回はグラフと三角形について簡単に触れたいです。後半部分は等積変形使ったりしてますが。考え方の例として受け止めてくださればと思います。それではどうぞ。

x軸, y軸に平行な辺があるとき

三角形の面積の問題( $x$ 軸, $y$ 軸に平行な辺があるとき。)

例題１
関数 $y=\dfrac{1}{2}x+2$ , $y=-x+5$ が点Aで交わっている。
また $y$ 軸に平行で $x$ 座標が $-2$ の直線と2つのグラフの交点をP, Qとするとき,
△APQの面積を求めなさい。
考え方
この手の問題は $x$ 軸, $y$ 軸に平行な直線がある場合は, それを底辺として考えると, 片付く問題がほぼ100 $\%$ になります。この場合線分PQが $y$ 軸に平行なので, 線分PQを底辺とすれば三角形の面積は簡単に求まります。

攻略法

$x$ 軸, $y$ 軸に平行な直線がある場合は, それを底辺として考える

x軸, y軸に平行な辺がないとき

次に, 三角形の底辺と思われるものが, $x$ 軸, $y$ 軸に対して斜めになっている場合は, その三角形が, ちょうど入る長方形を作り余分な三角形を引けば求まる。しかし, ここでは二次関数を例に公式的なもので求めてみます。

例題２
右の図は $y=x^2$ のグラフで, そのグラフ上に3点A( $-2, 4$ ), B(1, 1), C(3, 9)をとったものです。このとき, △ABCの面積を求めなさい。
考え方
このとき直線ABの式( $y=x+6$ )を求めて, 点Bから $y$ 軸に平行な直線と直線ABとの交点をDとするとD(1, 7)となり, 幅① $\times$ 幅② $\div$ 2で求まる。もちろん, 幅①を底辺として, 左右2つの三角形の面積を別々に求めて最後に足してもよい。

また, もう1つの解法は, 等積変形です。直線ABの傾きを求め, 直線ABに平行で点Bを通る直線を求める(この場合 $y=x$ )。この直線と $y$ 軸との交点(この場合原点)を求めて, 先と同様に幅① $\times$ 幅② $\div$ 2で求めてもよい。

さらに, もう1つ等積変形ですが, $x$ 軸または $y$ 軸に平行に頂点を動かしてやることも可能である。

等積変形はどの頂点を動かせば効率が良いか, という観点から見るとよい。特に直線の式の傾きが知れる場合は, それに平行な直線で考えてみるのもよい。

攻略法

$x$ 軸, $y$ 軸に平行な直線がない場合は, 幅① $\times$ 幅② $\div$ 2, 幅①で2つの三角形に分ける。等積変形などを使おう。

あと原点が1つの頂点である場合, 2つの座標をたすきがけしたものの差の絶対値の $\dfrac{1}{2}$ で求められます。紹介だけしておきます。

公式

3点 $(0, 0)$ , $(a, b)$ , $(c, d)$ を頂点とする三角形の面積 $S$
$S=\dfrac{1}{2}|ad-bc|$
$|\hspace{3mm}|$ は絶対値の記号(例: $|-5|=5$ )
どの3点も原点にない場合は, 3点のどれか1つを基準にして, 原点に平行移動させて考えるとうまくいく。