中学数学：攻略・関数と図形(三角形の等積変形)

2020年4月11日2022年5月29日

こんにちは。相城です。今回は関数と図形の中で, 三角形の面積と等しい三角形をつくる問題を攻略してみたいと思います。

例題を見てみよう

右の図で, 直線 $\ell$ は, $y=\dfrac{2}{3}x+5$ , 直線 $m$ は $y=-4x+5$ , 直線 $n$ は $y=-\dfrac{1}{2}x-2$ である。
直線 $\ell, m$ , 直線 $\ell, n$ , 直線 $m, n$ の交点をそれぞれA, B, Cとする。このとき, $x$ 軸上の正の部分の点で, △ABC $=$ △ABPとなる点Pの座標を求めなさい。

ポイントはアルファベットにあり

このような問題が, よく出題されると思うが, ポイントは問題文にある△ABC $=$ △ABPである。結論から言うとアルファベットなのである。2つの三角形に共通なアルファベットが2つあるでしょ。AとB, これは求める過程で動かない点なのです。このABが, 間違いなく定辺(動かない辺)になります。三角形の面積の等積変形は, 必ずと言っていいほど, 1つの頂点を動かすものである。つまり, 共通な2つのアルファベットを結ぶ線分は定辺になるのである。その2つのアルファベット(頂点)を結ぶ線分(定辺)に対して, 平行線を残りの頂点(平行移動させる頂点) を通るように引けばよいのである。したがって, 残りの点Cを通り, 線分AB(定辺)に平行な直線を求め, $x$ 軸との交点を求めるとよいのである。
これが, この手の問題を解くポイントである。
ちなみに今回は, 傾き $\dfrac23$ で点C( $2, -3$ )を通ることから, 求める直線は
$y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{13}{3}$ となる。
$y=0$ とおいて, $x=\dfrac{13}{2}$ よって, P $\left(\dfrac{13}{2}, 0\right)$