高校数学：相加相乗平均の秘密？

2020年7月9日2021年9月21日

こんにちは。相城です。いきなり問題です。

$x>0$ とするとき, $x+\dfrac{9}{x}$ の最小値を求めなさい。

こんな問題が出されたら相加相乗平均を用いて求めます。

相加相乗平均って公式で

公式：相加相乗平均

$a>0$ , $b>0$ とするとき, $\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$
実際は
$a+b\geqq2\sqrt{ab}$
で使うことが多いかな？

が成り立ちます。って出てくるんだけど

そもそも何で $a>0$ , $b>0$ じゃなきゃいけないのか。とか何でこれが成り立つのか？っていうと

そもそも大元の式は,
$\left(\sqrt{\mathstrut a}-\sqrt{\mathstrut b}\right)^2\geqq0$ じゃないでしょうか。実際これを展開していくと,

$a-2\sqrt{ab}+b\geqq0$

$a+b\geqq2\sqrt{ab}$

ってなりますよね。もちろんこのとき, 根号の中は正の数なので, $a>0$ , $b>0$ で, 等号成立は, $\sqrt{a}=\sqrt{b}$ のとき, すなわち, $a=b$ のときとなります。

上の問題を解くと,
$x+\dfrac{9}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot\dfrac{9}{x}}=6$
等号成立は
$x=\dfrac{9}{x}$ のときで, $x>0$ より, $x=3$
よって, この式は $x=3$ のとき, 最小値 $6$ になる。

お粗末でした。