中学数学：連立方程式の文章問題・栃木県(図形)

こんにちは。今回は栃木県の入試問題からです。それではどうぞ。

図のような。縦 $a$ cm, 横 $b$ cmの長方形の紙がある。この長方形に
対して次のような【操作】を行う。ただし, $a$ , $b$ は正の整数であり, $a<b$ とする。
【操作】
長方形の紙から短い方の辺を1辺とする正方形を切り取る。
残った四角形が正方形でない場合には, その四角形から, さらに同様の方法で正方形を切り取り,
残った四角形が正方形になるまで繰り返す。
【操作内容はここまで】
例えば, 図2のように, $a=3$ , $b=4$ の長方形の紙に対して【操作】を行うと, 1辺3\,cmの正方形の紙が1枚, 1辺1\,㎝の正方形の紙が3枚, 全部で4枚の正方形ができる。このとき, 次の問いに答えなさい。

問1 $a=4$ , $b=6$ の長方形に対して【操作】を行ったとき, できた正方形のうち最も小さい正方形の1辺の長さを求めなさい。
問2 $n$ を正の整数とする。 $a=n$ , $b=3n+1$ の長方形の紙に対して【操作】を行ったとき, 正方形は全部で何枚できるか。 $n$ を用いて表しなさい。
問3 ある長方形の紙に対して【操作】を行ったところ, 3種類の大きさの異なる正方形が全部で4枚できた。これらの正方形は, 1辺の長さが長い順に, 12cmの正方形が1枚, $x$ cmの正方形が1枚, $y$ cmの正方形が2枚であった。
このとき, $x$ , $y$ の連立方程式をつくり, $x$ , $y$ の値を求めなさい。ただし, 途中の計算も書くこと。
問4 $b=56$ の長方形の紙に対して【操作】を行ったところ, 3種類の大きさの異なる正方形が全部で5枚できた。このとき, 考えられる $a$ の値をすべて求めなさい。
(栃木県)

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