複素数を使った(負の数)×(負の数)＝(正の数)

こんにちは。複素数平面上でマイナスかけるマイナスがプラスになることを説明してみました。備忘録です。間違ってたら教えてください。

90°回転を2回行う

複素数平面上で $-1$ を正の方向に90 $^{\circ}$ 回転させることを考えると
$( -1 )\times(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=( -1 )\times i=-i\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
これをさらに正の方向に90 $^{\circ}$ 回転させると
$( -i )\times(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=( -i )\times i=1\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
①, ②の作業によって $-1$ は正の方向に180 $^{\circ}$ 回転したことになるので,
①, ②の作業を1度でする式は次の式になります。
$( -1 )\times(\cos180^{\circ}+i\sin180^{\circ})=( -1 )\times( -1 )$
この答えは②と一致するので,
$( -1 )\times( -1 )=1$
複素数平面上の $-1$ を文字 $-a$ で置き換えると, 結果
$( -a )\times(\cos180^{\circ}+i\sin180^{\circ})=( -a )\times( -1 )=a$

一般化してみると

$( -a )\times( -b )=ab$ の場合の説明は,
複素数平面上の $-a$ を $\sqrt{b}$ 拡大しながら正の方向に90 $^{\circ}$ の回転を2回行えばよいので,
$\begin{array}{lll}&&( -a )\times\sqrt{b}(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})\\&=&( -a )\times \sqrt{b}i\\&=&-a\sqrt{b}i\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\end{array}$
さらに
$\begin{array}{lll}&&( -a\sqrt{b}i )\times\sqrt{b}(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})\\&=&( -a\sqrt{b}i )\times \sqrt{b}i\\&=&ab\cdots\textcircled{\scriptsize 4}\end{array}$
よって, ③, ④は $-a$ に $b(\cos180^{\circ}+i \sin180^{\circ})$ をかけることと同じなので,
$( -a )\times b(\cos180^{\circ}+i \sin180^{\circ})=( -a )\times ( -b )=ab$
こんな感じですかね。
おかしかったら教えてください。
お粗末でした。

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