高校数学：直線の公式・y-b=m(x-a)の導出

こんにちは。相城です。
今回は, 傾きが $m$ で点( $a$ , $b$ )を通る直線がなんで
$y-b=m(x-a)$ で求められるかを探求してみましょう。

公式を導いてみる

傾き $m$ の直線を次のようにおきます。
$y=mx+n\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
この直線が点( $a$ , $b$ )を通るので,
$b=ma+n\cdots\textcircled{\scriptsize2}$
となります。
$\textcircled{\scriptsize1}$ と $\textcircled{\scriptsize2}$ の辺々(左辺同士, 右辺同士)を引いて $n$ を消去すると,
公式
$y-b=m(x-a)$
が得られます。
実際, $x=a, y=b$ とすると, $0=0$ となり, 等式は成立します。

これは関数 $y=mx$ というグラフを点( $a$ , $b$ )を通るように平行移動させたことを意味しています。大変重要なことなので覚えておいてくださいね。

話が見えにくいな～って方に具体的数字で書いておきます。
直線 $y=3x-1\cdots\textcircled{\scriptsize3}$ という式は点( 5, 14 )を通ります。
したがって, $14=3\cdot5-1\cdots\textcircled{\scriptsize4}$
$\textcircled{\scriptsize3}-\textcircled{\scriptsize4}$ より,
$y-14=3(x-5)$ となり, これを展開し, 整理すると,
$y=3x-1$ となることが分かるでしょう。
これは, $y=3x$ という式を点( 5, 14 )を通るように平行移動したものと解釈できます。また, $y=3x-1$ 上の点なら, ( 5, 14 )以外でも同じ結果が得られます。