高校数学:直線の公式・y-b=m(x-a)の導出

こんにちは。相城です。
今回は, 傾きがmで点(a, b)を通る直線がなんで
y-b=m(x-a)で求められるかを探求してみましょう。

公式を導いてみる

傾きmの直線を次のようにおきます。
y=mx+n\cdots\textcircled{\scriptsize1}
この直線が点(a, b)を通るので,
b=ma+n\cdots\textcircled{\scriptsize2}
となります。
\textcircled{\scriptsize1}\textcircled{\scriptsize2}の辺々(左辺同士, 右辺同士)を引いてnを消去すると,
公式
y-b=m(x-a)
が得られます。
実際, x=a, y=bとすると, 0=0となり, 等式は成立します。

これは関数y=mxというグラフを点(a, b)を通るように平行移動させたことを意味しています。大変重要なことなので覚えておいてくださいね。

話が見えにくいな~って方に具体的数字で書いておきます。
直線y=3x-1\cdots\textcircled{\scriptsize3}という式は点( 5, 14 )を通ります。
したがって, 14=3\cdot5-1\cdots\textcircled{\scriptsize4}
\textcircled{\scriptsize3}-\textcircled{\scriptsize4}より,
y-14=3(x-5)となり, これを展開し, 整理すると,
y=3x-1となることが分かるでしょう。
これは, y=3xという式を点( 5, 14 )を通るように平行移動したものと解釈できます。また, y=3x-1上の点なら, ( 5, 14 )以外でも同じ結果が得られます。

傾きm,点(a,b)を通る直線の式
y-b=m(x-a)
意味:関数y=mxを点(a, b)を通るように平行移動した直線の式。


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