高校数学：2次関数の場合分け・定義域が動く

こんにちは。相城です。今回は2次関数の最大・最小値の場合分けの定義域が動く場合をお届けします。高校生になってつまづきやすい部分ですので, しっかり学んでくださいね。以下例題を参照しながら話を進めてまいります。

最小値の3パターン

例題：2次関数 $y=x^2-2x+1\ (a\leqq x\leqq a+2)$ における最小値を求めなさい。

まず, 平方完成すると,
$y=(x-1)^2$ となり, 軸が $x=1$ であることが分かります。
最小値を考える場合, 定義域が動く場合は定義域全体が, 軸より左側にある場合, 定義域が軸を含む場合, 定義域全体が, 軸より右側にある場合の3パターンで考えます。

場合分け①： $a+2<1$ つまり, $a<-1$ のとき
(定義域が軸 $x=1$ より左側にあるとき)
以下の図のようになります。

この場合, 最小値は定義域の右側である $x=a+2$ のときで, $y=x^2-2x+1$ に $x=a+2$ を代入すると, 最小値は $a^2+2a+1$ となります。

場合分け②： $a\leqq 1\leqq a+2$ つまり, $-1\leqq a\leqq 1$ のとき
(定義域が軸 $x=1$ を挟み込むとき)
以下の図のようになります。

この場合, 最小値は $x=1$ のときなので, $y=(x-1)^2$ に $x=1$ を代入して, 最小値は $0$ となります。

場合分け③： $a>1$ のとき
(定義域が軸 $x=1$ より右側にあるとき)
以下の図のようになります。

この場合, 最小値は定義域の左側である $x=a$ のときで, $y=x^2-2x+1$ に $x=a$ を代入すると, 最小値は $a^2-2a+1$ となります。

場合分けと最小値をとる $x$ の値を表にすると以下のようになります。

最大値の3パターン

例題：2次関数 $y=x^2-2x+1\ (a\leqq x\leqq a+2)$ における最大値を求めなさい。
まず, 式を平方完成すると,
$y=(x-1)^2$
となり, 最小値と同じように, 定義域の場合分けを行っていきます。
ただ, 場合分けの方法は, 最小値と全く同じというわけではありません。よく図を見ていると, 定義域の真ん中 $\left(\dfrac{a+(a+2)}{2}=a+1\right)$ が, 軸に一致するまで $(a+1<1, x=a$ で最大)と, 軸に一致した $(a+1=1, x=0, 2$ で最大)とき, 軸を通り過ぎたとき $(a+1>1, x=a+2$ で最大)の3パターンで場合分けします。

場合分け①： $a+1<1$ つまり, $a<0$ のとき
(定義域の真ん中 $a+1$ が軸 $x=1$ より左側にあるとき)
以下の図のようになります。

この場合, 最大値は定義域の左側の $x=a$ のときなので, $y=x^2-2x+1$ に $x=a$ を代入すると, 最大値は $a^2-2a+1$ となります。

場合分け②： $a+1=1$ つまり, $a=0$ のとき
(定義域の真ん中 $a+1$ と軸 $x=1$ が一致するとき)
以下の図のようになります。

この場合, $a=0$ で, 定義域が $0\leqq x\leqq 2$ となり, 最大値は $x=0, 2$ のときになります。したがって, $y=x^2-2x+1$ に $x=0, 2$ のどちらか代入し, 最大値は1となります。

場合分け③： $a+1>1$ つまり $a>0$ のとき
(定義域の真ん中 $a+1$ が軸 $x=1$ より右側にあるとき)
以下の図のようになります。

この場合, 最大値は定義域の右側の $x=a+2$ のときなので, $y=x^2-2x+1$ に $x=a+2$ を代入すると, 最大値は $a^2+2a+1$ となります。

場合分けと最大値をとる $x$ の値を表にすると以下のようになります。

最大・最小値の5パターン

例題：2次関数 $y=x^2-2x+1\ (a\leqq x\leqq a+2)$ の最大値と最小値を求めなさい。
この問題で難しいのは, このように最小値と最大値をまとめて問われる場合で, この場合, 最大5パターンに分けます。分け方は, これまで書いてきた最小値と最大値を組み合わせた場合なので, それぞれで場合分けを行った, $a=-1, 0, 1,$ それ以外で範囲を分けます。すると, 以下の5パターンに分類されます。