こんにちは。相城です。今回は三角比の相互関係②ということで, の
の部分が
になった場合, どのような関係ができるか, 見ていきましょう。
90°-θの三角比
まず結論から書くとこうなります。
90°ーθの三角比



90°-θの三角比のなぜ?
なぜかと言うと以下の画像で説明します。
まず, 斜辺, 対辺(高さ)
, 隣辺(底辺)
, 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を
とする直角三角形を用意します。

このとき, ,
,
は,
となります。
次に, 三角形の内角の関係より, 2つの内角が, ,
であるから, 残りの内角は
なので, その角が底辺の左側, 右側に90
がくるように描くと, 下図中の左側のようになります。

このとき, において, それぞれ
,
,
を求めると,
これからと
,
と
が一致し,
と
が逆数の関係になります。
以上より
が得られます。
次に円を用いて考えてみましょう。少々難しく書いてますが, やってることは同じです。

斜辺,対辺(高さ)
, 隣辺(底辺)
とし, 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を
とする。この直角三角形を
平面上に隣辺(底辺)が
軸と接し,
を持つ頂点が原点と重なるようにように設置する。
このとき, 原点を中心とし, 半径の円を描くと図のようになり, 円と三角形が接してできる点の座標は(
,
)となります。
また, は先の直角三角形の隣辺(底辺)が
軸と接し,
を持つ頂点が原点と重なったときにできる図中の赤い色の角で, 赤色の三角形で考えればよい。このとき, この三角形と円が接してできる座標は図より(
,
)となります。
,
において, それぞれ
,
,
を求めると,
これからと
,
と
が一致し,
と
が逆数の関係になります。
以上より
が得られます。