高校数学：三角比の相互関係②90°－θの三角比

こんにちは。相城です。今回は三角比の相互関係②ということで, $\sin\theta$ の $\theta$ の部分が $90^{\circ}-\theta$ になった場合, どのような関係ができるか, 見ていきましょう。

90°－θの三角比

まず結論から書くとこうなります。

90°ーθの三角比

$\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$
$\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
$\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$

90°－θの三角比のなぜ？

なぜかと言うと以下の画像で説明します。
まず, 斜辺 $r$ , 対辺(高さ) $y$ , 隣辺(底辺) $x$ , 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を $\theta$ とする直角三角形を用意します。

このとき, $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ は,
$\sin\theta=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
$\cos\theta=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize2}$
$\tan\theta=\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize3}$
となります。

次に, 三角形の内角の関係より, 2つの内角が, $90^{\circ}$ , $\theta$ であるから, 残りの内角は $90^{\circ}-\theta$ なので, その角が底辺の左側, 右側に90 $^{\circ}$ がくるように描くと, 下図中の左側のようになります。

このとき, $90^{\circ}-\theta$ において, それぞれ $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ を求めると,
$\sin\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize4}$
$\cos\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize5}$
$\tan\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{y}\cdots\textcircled{\scriptsize6}$
これから $\textcircled{\scriptsize1}$ と $\textcircled{\scriptsize5}$ , $\textcircled{\scriptsize2}$ と $\textcircled{\scriptsize4}$ が一致し, $\textcircled{\scriptsize3}$ と $\textcircled{\scriptsize6}$ が逆数の関係になります。
以上より
$\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$
$\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
$\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
が得られます。

次に円を用いて考えてみましょう。少々難しく書いてますが, やってることは同じです。

斜辺 $r$ ,対辺(高さ) $y$ , 隣辺(底辺) $x$ とし, 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を $\theta$ とする。この直角三角形を $xy$ 平面上に隣辺(底辺)が $x$ 軸と接し, $\theta$ を持つ頂点が原点と重なるようにように設置する。
このとき, 原点を中心とし, 半径 $r$ の円を描くと図のようになり, 円と三角形が接してできる点の座標は( $x$ , $y$ )となります。
また, $90^{\circ}-\theta$ は先の直角三角形の隣辺(底辺)が $y$ 軸と接し, $\theta$ を持つ頂点が原点と重なったときにできる図中の赤い色の角で, 赤色の三角形で考えればよい。このとき, この三角形と円が接してできる座標は図より( $y$ , $x$ )となります。
$\theta$ , $90^{\circ}-\theta$ において, それぞれ $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ を求めると,
$\sin\theta=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
$\cos\theta=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize2}$
$\tan\theta=\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize3}$
$\sin\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize4}$
$\cos\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize5}$
$\tan\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{y}\cdots\textcircled{\scriptsize6}$
これから $\textcircled{\scriptsize1}$ と $\textcircled{\scriptsize5}$ , $\textcircled{\scriptsize2}$ と $\textcircled{\scriptsize4}$ が一致し, $\textcircled{\scriptsize3}$ と $\textcircled{\scriptsize6}$ が逆数の関係になります。
以上より
$\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$
$\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
$\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
が得られます。

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