高校数学：三角比の相互関係①

こんにちは。今回は三角比の相互関係を書いておきますね。
高1のときに習うものを中心に書いておきます。

三角比の相互関係

覚えておきたい三角比の関係式

$\textcircled{\scriptsize1}\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
$\textcircled{\scriptsize2}\ \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$\textcircled{\scriptsize3}\ \tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

$\textcircled{\scriptsize1}$ に関してはこちらの記事をご参照ください。
$\textcircled{\scriptsize2}$ は
$\tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\dfrac{y}{r}}{\dfrac{x}{r}}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
として得られます。
また, この式から
$\sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\theta$
という式が得られます。
$\textcircled{\scriptsize3}$ は $\textcircled{\scriptsize1}$ の両辺を $\cos^2\theta$ で割れば
$\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
$\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
$\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
として公式が得られます。
また, $\textcircled{\scriptsize3}$ を変形すると
$\cos^2\theta=\dfrac{1}{\tan^2\theta+1}$
という式が得られます。
この式変形のとき, 知っておくと便利なテクニックは
$A=\dfrac{C}{B}$ という等式で. AとBを入れ替えても等式は成り立つというものです。つまり,
$A=\dfrac{C}{B}\Longrightarrow B=\dfrac{C}{A}$
これは, 知っておくと便利です。

知っておくと便利なテクニック

$A=\dfrac{C}{B}\Longrightarrow B=\dfrac{C}{A}$
これの基本として,
$\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\Longrightarrow AD=BC, \dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{D}$ など
があることを知っておきましょう。

例題をやってみよう

例題1： $\sin\theta=\dfrac{4}{5}$ のとき, $\cos\theta$ , $\tan\theta$ を求めなさい。ただし, $0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}$ とする。
解法：まず, $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ に $\sin\theta=\dfrac{4}{5}$ を代入すると,
$\left(\dfrac45\right)^2+\cos^2\theta=1$
$\cos^2\theta=1-\dfrac{16}{25}$
$\cos^2\theta=\dfrac{9}{25}$
$\cos\theta=\pm\dfrac35\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
$\cos\theta=\dfrac35$ の場合
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac45\div\dfrac35=\dfrac43$
$\cos\theta=-\dfrac35$ の場合
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac45\div\left(-\dfrac35\right)=-\dfrac43$
$\textcircled{\scriptsize1}$ で答えが2つあるのは, $0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}$ の範囲では, 鋭角 $(0<x<90)$ と鈍角 $(90<x<180)$ の2つあるから。

例題2： $\cos\theta=-\dfrac{1}{3}$ のとき, $\sin\theta$ , $\tan\theta$ を求めなさい。ただし, $0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}$ とする。
解法：まず, $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ に $\cos\theta=-\dfrac{1}{3}$ を代入すると,
$\sin^2\theta+\left(-\dfrac13\right)^2=1$
$\sin^2\theta=1-\dfrac19$
$\sin^2\theta=\dfrac89$
$\sin\theta=\dfrac{2\sqrt2}{3}\cdots\textcircled{\scriptsize2}$
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\div\left(-\dfrac13\right)=-2\sqrt2$
$\textcircled{\scriptsize2}$ で答えが1つ(正だけ)なのは, $0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}$ の範囲では, $\sin\theta\geqq0\ (y\geqq0)$ だから。

例題3： $\tan\theta=-\dfrac{2}{3}$ のとき, $\cos\theta$ , $\sin\theta$ を求めなさい。ただし, $0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}$ とする。
解法： $\tan\theta$ が与えられたときは,
$\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ を
$\cos^2\theta=\dfrac{1}{\tan^2\theta+1}$ としてを使うと便利です。
この式に $\tan\theta=-\dfrac{2}{3}$ を代入すると,
$\cos^2\theta=1\div\left\{\left(-\dfrac23\right)^2+1\right\}$
$\cos^2\theta=1\div\dfrac{13}{9}$
$\cos^2\theta=\dfrac{9}{13}$
$\tan\theta<0$ より, $\cos\theta<0$ だから,
$\cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{13}}$
$\sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\theta$ より,
$\sin\theta=-\dfrac23\times\left(-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

以上になります。

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