高校数学：三角比の相互関係③180°－θの三角比

こんにちは。相城です。今回は三角比において $\theta$ の部分が $180^{\circ}-\theta$ になった場合, どのような関係になるか見ていきましょう。

180°－θの三角比

結論から書いておきます。

180°ーθの三角比

$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
$\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$
$\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta$

180°－θの三角比のなぜ

斜辺 $r$ ,対辺(高さ) $y$ , 隣辺(底辺) $x$ とし, 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を $\theta$ とする。

この直角三角形を $xy$ 平面上に隣辺(底辺)が $x$ 軸と接し, $\theta$ を持つ頂点が原点と重なるようにように設置する。
このとき, 原点を中心とし, 半径 $r$ の円を描くと図のようになり, 円と三角形が接してできる点の座標は( $x$ , $y$ )となります。
また, $180^{\circ}-\theta$ は先の直角三角形を $y$ 軸について対称に配置してできる図中の赤い色の角になります。このとき, $y$ 軸について対称移動した三角形と円が接してできる座標は図より( $-x$ , $y$ )となります。

$\theta$ , $180^{\circ}-\theta$ において, それぞれ $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ を求めると,
$\sin\theta=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
$\cos\theta=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize2}$
$\tan\theta=\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize3}$
$\sin\left(180^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize4}$
$\cos\left(180^{\circ}-\theta\right)=-\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize5}$
$\tan\left(180^{\circ}-\theta\right)=-\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize6}$
これから $\textcircled{\scriptsize1}$ と $\textcircled{\scriptsize4}$ , $\textcircled{\scriptsize2}\times(-1)$ と $\textcircled{\scriptsize5}$ が一致し, $\textcircled{\scriptsize3}\times(-1)$ と $\textcircled{\scriptsize6}$ が一致します。
以上より
$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
$\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$
$\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta$
が得られます。

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