TikZ：高校数学：3辺が分かる三角形の面積の求め方

2021年1月7日2021年8月7日

こんにちは。相城です。今回は3辺が分かる三角形の面積の求め方を書いておきます。

3辺が分かる三角形の面積

3辺の長さが4, 5, 6である三角形の面積を求めなさい。

今回は $A=\theta$ として, 余弦定理で $\cos\theta$ の値を求めてから, $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ にそれを代入し, $\sin\theta$ の値を求めて面積の公式に当てはめて求めるという方針で行きます。(※ $\theta$ は $B, C$ でも可)

余弦定理から得られる $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ に
$a=6$ , $b=4$ , $c=5$ を代入すると,
$\cos\theta=\dfrac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot4\cdot5}$
$\cos\theta=\dfrac18\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ を $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ に代入して,
$\sin^2\theta+\left(\dfrac18\right)^2=1$
$\sin^2\theta=1-\dfrac{1}{64}$
$\sin^2\theta=\dfrac{63}{64}$
$\sin\theta>0$ なので,
$\sin\theta=\dfrac{3\sqrt7}{8}$
よって△ABCの面積 $S$ は
$S=\dfrac12\cdot4\cdot5\cdot\dfrac{3\sqrt7}{8}$
$S=\dfrac{15\sqrt7}{4}$